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1、1动斜面问题的思路剖析动斜面问题的思路剖析北京二中北京二中 卢宗长卢宗长2008 高考北京卷第 20 题，是一个动力学中的动斜面问题，需要利用“极端假设法”和“特值法”判断物理解析式的正确性，数学是物理的好帮手，解答物理问题，离不开数学知识的支持；同时也要注意到有的问题，从数学的角度看是可能的，但从物理的角度看，却是不合理的。因此分析物理问题，不可陷入纯数学的观点。该题本身也给学有余力的学生留下了继续探究的空间，立意新颖，构思巧妙，是一道利于培养学生分析问题能力的好题。原题如下：有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断。例如从解的物理量单位，解随某些已知量变
2、化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。举例如下：如图 1 所示。质量为 M、倾角为的滑块 A放于水平地面上。把质量为 m 的滑块 B 放在 A 的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得 B 相对地面的加速度,式中 g 为重力加速度。sinsin2gmMmMa对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误的。请你指出该项。A.当=0 时，该解给出，这符合常识，说明该解可能是对的0aB.当90 时，该解给出,这符合实验结
3、论，说明该解可能是对的ga C.当时，该解给出,这符合预期的结果，说明该解可能是对mM singa 的D.当时，该解给出,这符合预期的结果，说明该解可能是对Mm singa 2的思路剖析：从题目给出的四个选项看，前三项 A、B、C 均无懈可击，说明它们可能是对的。而选项 D 中，当时，给出，从数学角度看只Mm singa 须满足分母不为零即可， （即 0） ，这个选项似乎也顺理成章，并无不妥；但从物理角度看，由于 sin1,其结论为，这个结论却是不可能ggasin的，因为即便物体做自由落体运动，其加速度也不可能大于 g,据此答案为 D。可见，题目给出的加速度，非为滑块 B 对地的加速sinsi
4、n2gmMmMa度，那么，滑块 B 对地的加速度到底如何表示？涉及动斜面问题的分析方法，通常需要利用牛顿运动定律的分量式列式解答，现用两种方法予以剖析。解法一：沿水平和竖直方向建立坐标系解法一：沿水平和竖直方向建立坐标系对滑块 A 受力分析如图 2 所示，设滑块 A 对 B 的弹力为 F1,则 B 对 A 的作用力 F1=F1,加速度以表示， a水平： sin 1MaF对滑块 B，受力分析如图 3 所示，设其相对于滑块 A 的加速度为，图 4(a)为滑块 B 的加速度的矢量分解图，(b)为滑raa块 B 的加速度与滑块 A 的加速度的关系图，据图对滑块a aB：水平加速度为： ) cos(aa
5、arx竖直加速度为： sinryaa 利用牛顿第二定律的分量式,水平方向： xmaFsin1竖直方向： ymaFmgcos1由图 4（a）滑块 B 对地的加速度： 22 yxaaa由解得：2sincossinmMmga32sincossin mMMgax2sinsin)( mMgmMar不难发现：题中给出的滑块 B 的加速度，其实是滑块 B 对滑块 A 的相对加速度，解得滑块 B 对地的加速度应为：rasinsinsinsin222222 gmMmMmMa设与水平方向的夹角为则：a用极端假设法分析讨论：（1）当=0时，；0a（2）当时，,，表示滑块 B 沿坚直方向自由下落o90ga o90（3
6、）时，,表示滑块 B 沿几乎静止的斜面方向自mM ,singa由下滑（4）时，,（0），表示滑块 B 几乎沿坚直方向Mm ga o90自由下落。解法二：沿斜面方向和与斜面垂直的方向建立坐标系解法二：沿斜面方向和与斜面垂直的方向建立坐标系滑块 A 的受力分析及运动方程同解法一（见图 2 和式）如图 5 所示建立平面直角坐标系，把质点 B 的加速度正交分解为垂直斜a面方向的分量和沿斜面方向的分量（图 6） ，利用牛顿第1a2a二定律的分量式11cosmaFmg2sinmamg设与斜面的夹角为,由几何关系2 22 1aaatan)(tanMmM 421tanaa是因滑块 A 具有加速度的缘故才形成,因此必是1a a1a在垂直斜面方向上的分加速度（图 7） asin 1aa 由 解得2 sincossin mMmga221sincossin mMmgasinsinsinsin222222 gmMmMmMa2sincossintanmMm cotarc用极端假设法分析会得出与解法一相同的结论，请读者自探究。
