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1、学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 1 of 6 与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题1 1、有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数 ”请你举一个例子，说明这句话是错的【分析与解分析与解】 例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能 被 2、3、4、5、6、7、8 整除，电就是说它们都不是质数评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)! +2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被 2、3、4、(n+
2、1)整 除，它们是连续的 n 个合数其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 123n2 2、从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12【分析与解】 我们知道 12 是 2、3 的倍数，如果开始的质数是 2 或 3，那么即与 12 的和一定也是 2 或 3 的倍数，将是合数，所以从 5 开始尝试后一个数23或有 5、17、29、41、53 是满足条件的 5 个质数3 39 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个? 【分析与解分析与解】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：6
3、2164116学而思奥数网 Page 2 of 6 个连续的自然数中最多只有 5 个奇数，它们的个位应该为 1，3，5，7，9但是大于 80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有 4 个数验证 101，102，103，104，105，106，107，108，109 这 9 个连续的自然数中 101、103、107、109 这 4 个数均是质数也就是大于 80 的 9 个连续自然数，其中质数最多能有 4 个4.4. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只 能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数?【分析与解分析与解】要使质数个
4、数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位 质数，这样还剩下 1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67所以这 9 个数字最多组成了 2、3、5、41、67、89 这 6 个质数5 53 个质数的倒数之和是，则这 3 个质数之和为多少?1661 1986【分析与解分析与解】设这 3 个质数从小到大为 a、b、c，它们的倒数分别为、，计1 a1 b1 c算它们的和时需通分，且通分后的分母为 abc，求和得到的分数为,如果这个分F abc 数能够约分，那么得到的分数的分母为 a、b、c 或它们
5、之间的积现在和为，分母 1986=23331，所以一定是 a=2，b=3，c=331，检验满足1661 1986所以这 3 个质数的和为 2+3+331=3366 6已知一个两位数除 1477，余数是 49求满足这样条件的所有两位数【分析与解分析与解】 有 1477除数=商49，那么 1477-49：除数商，所以，除数学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 3 of 6 商=1428=223717一般情况下有除数大于余数即除数大于 49 且整除 1428，有 84、51、68 满足所以满足题意的两位数有 51、68、847 7有一种最简真
6、分数，它们的分子与分母的乘积都是 140如果把所有这样的分数从小 到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解分析与解】 有 140=2257，因为这些分数的分子与分母的乘积均为 140，当 分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小有分母从大到小依次为 140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为 1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而、1 1402 704 355 287 2010 1414 10 其中第三个最简真分数为8 8某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师，14 个教学
7、班各班学生 人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款 多少元?【分析与解分析与解】 这个学校最少有 35+1430=455 名师生，最多有 35+1445=665 名师 生，并且师生总人数能整除 19951995=35133，在 455665 之间的约数只有 5133=665，所以师生总数为 665 人， 则平均每人捐款 1995665=3 元9 9在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8，由此得 乘积为 1872那么原来的乘积是多少?【分析与解分析与解】 1872=22223313=口口口口，其中某个口为 8，一一
8、验证只有：1872=4839，1872=7824 满足当为 1872=4839 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以正确的乘学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 4 of 6 积应该是 4539=1755当为 1872=7824 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘 积应该是 7524=1800所以原来的积为 1755 或 180010.10.已知两个数的和被 5 除余 1，它们的积是 2924，那么它们的差等于多少?【分析与解分析与解】 2924=221743=AB，且有
9、 A+B 被 5 除余 l，则和的个位为 1 或 6有 417+43=68+43=11l，也就是说 68、43 为满足题意的两个数它们的差为 68-43=251111在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过 10 的自然 数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环 数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解分析与解】 1764=223377，1764 对应为 5 个小于 10 的自然数乘积只能是 1764=43377=26377=22977=16677=14977 对应的和依次为 4+3+3+7+7=24，2+6
10、+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数 为 1、4、9、7、7 所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 281212在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 5 of 6 质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为 ac+ab=209ac+a
11、b=a(c+b)=209，而 209=1119当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17;当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意 所以它们的乘积为 11217=37413.13.一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这 个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解分析与解】方法一方法一：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而343434 即最接近 39270，39270 的约数中接近或等于 34 的有 35、34、33，
12、有334333435=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高长)=2(3334+3435+3533) =6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如 果 17 作为长、宽或高显然不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l，所以这个长方体的大小为 333435长方体的表面积为 2(+)
13、=2(1190+1155+1122)39270 3339270 3439270 35 =23467=6934(平方厘米)学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ 联系电话：62164116学而思奥数网 Page 6 of 6 1414一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、 宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和 越小如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 81998=233337，37 是质数，不能再分解，所以 2333 对应的两个数应越 接近越好有 2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近它们的和为 6+9+37=52(厘米)1515如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解分析与解】4875=355513，有 ab 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64发现 39=313、25=55 这两个数 的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为 39
