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1、西安理工大学http:/矩阵论 3.3 矩阵的 UR分解定义 3.9如果非奇异矩阵 能够分解成正交（酉）矩阵 与非奇异 上三角矩阵 的乘积则称为 的 UR分解 .且除去相差一个 对角元素的绝对值（模）全等于 1的对角矩阵因子外，分解是 唯一 的 .定理 3.10 设 是 n 阶非奇异矩阵， 则存在酉矩阵和非奇异上三角矩阵 R, 使 有 UR分解；1西安理工大学http:/矩阵论证明 ： 设 的 n个列向量依次为因为 非奇异， 所以 n个列向量线性无关按 Schmidt正交化方法正交化，求 n 个标准正交列向量对 正交化有其中将上式改写为2西安理工大学http:/矩阵论令 则有 其中再对 单位化
2、可得于是有则有3西安理工大学http:/矩阵论唯一性设 有两个分解式由此得其中因为所以， D为对角元素的绝对值全为 1的对角矩阵从而4西安理工大学http:/矩阵论单位化后构造矩阵 U例例 3.3求矩阵求矩阵 的的 UR分解分解 .解 ：令正交化得5西安理工大学http:/矩阵论计算上三角矩阵则有则有6西安理工大学http:/矩阵论单位化后构造矩阵 U例例 3.4 求矩阵求矩阵 的的 UR分解分解 .解解 ：令：令正交化得7西安理工大学http:/矩阵论则有计算上三角矩阵计算上三角矩阵8西安理工大学http:/矩阵论应用 求解矩阵方程 ，（ ）可以对矩阵 先进行 分解 ，则有 ， ，因为 是上三角矩阵，所以求解简单 .9
