《高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)_g3[1].1069棱锥_286》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)_g3[1].1069棱锥_286（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、g3.1069 棱锥一.知识回顾:棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 .柱柱3VSh正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等） ；底面为正多边形.正棱锥的侧面积： （底面周长为 ，斜高为 ）Ch21SCh棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面成的二面角
2、为 ）cos底侧 S 附： 以知 ， ， 为二面角 .clba bla则 ， ， 得 .S21lS21coscos底侧 S注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则
3、顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.I注：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：ABCD，ACBD BCAD
4、. 令bACcDaAB,得 ，已知cbDBCcAabBC, 0,a则 .0ca0iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形 .简证：取 AC 中点 ，则 平面 90易知 EFGH 为平行四O ACOBACo, FGHBOAClabc BCDbcFEBCDAO边形 EFGH 为长方形.若对角线等，则 为正方形.EFGH二.基础训练:1给出下列命题：底面是正多边形的棱锥是正棱锥；侧棱都相等的棱锥是正棱锥；侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其
5、中正确命题的个数是( )A)A0()B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的SA S射影 在 内，那么 是 的( )OOB垂心 重心 外心 内心()()()已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面3C3ABC2BC与面 为面的二面角的大小是( )BCDAC()4)B3()2(D324、若一个三棱锥中，有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ）)(aFaA、1 B、 C、 D、22526三.例题分析:例 1正四棱锥 中，高 ，两相邻侧面所成角为 ， ,SACD6SO3tan(1)求侧棱
6、与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。解：（1） 作 于 ，连结 ，则 且 ，故 是相邻侧面所成二面CFSBAFCBAFSBAFC角的平面角，连结 ，则 ， ，在 与 中， O2ORttOtan2OFC(其中 为 与底面所成的角，设为 ) 故 。 sinOFB 3sin,602（2）在 中，侧棱 = ， ，RtSsinSBa42cotBS边长 ；取 的中点 ，连结 ，则 是正四棱锥的斜高，24BCCEE在 中，斜高 ；tSE2S7GFED C1B1A1CBA例 2如图正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，若经过对角线 且与对角线1ABCa2a1B平行的平面交上底面于 。
7、（1）试确定 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面 与侧面1BCDD所成的角及平面 与底面所成的角；（3）求 到平面 的距离。 A1 1A1BD解：（1） 为 的中点。连结 与 交于 ，则 为 的中点， 为A1AB1E 平面 BD与平面 的交线， /平面1C11D / ， 为 的中点。EA（2）过 作 于 ，由正三棱锥的性质， 平面 ，连结 ，则D1FB1,ADF1ABDG为平面 与侧面 所成的角的平面角，可求得 ，G11 34a由 ，得 ，11BFA:34FGa4F 为 的中点， ，由正三棱锥的性质， ， 平面D1C11BDAC1ABD11AC ， 是平面 与上底面所成的角的平面角，可求得
8、，1tan2A1arctn2（3）过 作 ， 平面 ， ， 平面1MDB1AC1BDAM11ABD即 是 到平面 的距离， ，11132a16a例 3如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂PABP045PAC直于底面， ， ， ， 90ACB1,6C13(1)求证：二面角 是直二面角；(2)求二面角 的正切值；P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，1ABC求几何体 的侧面积1ABC证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 PABCD图 313P C1 CBAA1 B1图 3131PC1CBAEA1B1D由题设知 是等腰直角三角形，且 PACPA
9、CPDAC 平面 平面 ， 平面 ， 1BB ， 平面 ，B 平面 ， 平面 平面 ，PAPAC即二面角 是直二面角C解 (2)作 ， 为垂足，则 是二面角 的平面角在DEBEBPEDABC中， ，则RtB10,68,4D由 ，得 ARt: ，BCAE1052 所求正切为 tanPDE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC ， 846PAS6421PS ，2ED251340PABS4 ， 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 3126PABCPAS1ABC39214S几 何 体 棱 锥 侧四、作业 同步练习 g3.1069 棱锥1给出下列命题：底面是正多边形的棱锥是正棱锥；侧棱都相等的
10、棱锥是正棱锥；侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )A0(B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的射影 在SA SO内，那么 是 的( )O垂心 重心 外心 内心()A()B()C()D已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面 与面3DA 3ABC2BCBD为面的二面角的大小是( )C4(3()2()324、若 P 是正四面体内一点，P 到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高C、正四面体相对棱间的距离 D、正
11、四面体的高5、若一个三棱锥中，有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ）)(aFaA、1 B、 C、 D、2325266、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A、1：3 B、1：2 C、1： D、1：37、正三棱锥的高是 ，侧棱长是 ，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 378、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为 1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为 。9、已知三棱锥 A-BCD 的体积为 V，棱 BC 的长为 a，面 ABC 和面 DBC 的面积分别为 S1 和 S2，设面 AB
12、C 和面 DBC所成二面角为 ，则 . sin10、三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积 S 的取值范围是 ；体积 V 的取值范围是 . 11如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂直于底面，PABCP045PAC， ， ， 90ACB1,613(1)求证：二面角 是直二面角；(2)求二面角 的正切值；P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几何体 的侧面积1ABC1ABCPC1CBAA1B112、已知在四面体 ABCD 中， = a， = b， = c， G平面 ABC PABPC（1）若 G 为 ABC 的
13、重心，试证明 (a+b+c)；31（2）试问（1 ）的逆命题是否成立？并证明你的结论参考答案ADCDDD7、 8、1cm 3 9、 10、 6021sva22)13(aSa380V11、证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 PABCD由题设知 是等腰直角三角形，且 PACPACABCDGP图 3131PC1CBAEA1B1D 平面 平面 ， 平面 ， 1ACBPDABC ， 平面 ，AC 平面 ， 平面 平面 ，P即二面角 是直二面角解 (2)作 ， 为垂足，则 是二面角 的平面角在 中，DEBPEBPEDABCRtABC，则10,6ABC8,4A由 ，得 Rtt: ，BE10652 所求正切为 tanPDE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC ， 846PAS6421PS ，2ED251340PABS4 ， 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 3126PABCPASS1ABC39214S几 何 体 棱 锥 侧12、解：（1）连 AG 交 BC 于 D，则 D 平分 BC，且 G 分 所成的比为 21，从而AD，AGP32a，)2(1)()(1)(2 acbPCPBCAD故 2cbacb（2）逆命题成立，证明如下：设 D 分 所成的比为 p， G 分 所成的比为 qBAD则 ， )(1PBCp )(1PADA，CpPBpP1于是， )1(1PACpPB
