《高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)_g3[1].1069棱锥_286》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)_g3[1].1069棱锥_286(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、g3.1069 棱锥一.知识回顾:棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形.注:一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 .柱柱3VSh正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.注:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等) ;底面为正多边形.正棱锥的侧面积: (底面周长为 ,斜高为 )Ch21SCh棱锥的侧面积与底面积的射影公式: (侧面与底面成的二面角
2、为 )cos底侧 S 附: 以知 , , 为二面角 .clba bla则 , , 得 .S21lS21coscos底侧 S注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).棱锥具有的性质:正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则
3、顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径;每个四面体都有内切球,球心 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径.I注:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.() (各个侧面的等腰三角形不知是否全等)ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直. 简证:ABCD,ACBD BCAD
4、. 令bACcDaAB,得 ,已知cbDBCcAabBC, 0,a则 .0ca0iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形 .简证:取 AC 中点 ,则 平面 90易知 EFGH 为平行四O ACOBACo, FGHBOAClabc BCDbcFEBCDAO边形 EFGH 为长方形.若对角线等,则 为正方形.EFGH二.基础训练:1给出下列命题:底面是正多边形的棱锥是正棱锥;侧棱都相等的棱锥是正棱锥;侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其
5、中正确命题的个数是( )A)A0()B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点 在底面的SA S射影 在 内,那么 是 的( )OOB垂心 重心 外心 内心()()()已知三棱锥 的三个侧面与底面全等,且 , ,则以 为棱,以面3C3ABC2BC与面 为面的二面角的大小是( )BCDAC()4)B3()2(D324、若一个三棱锥中,有一条棱长为 a,其余棱长均为 1,则其体积 取得最大值时 的值为( ))(aFaA、1 B、 C、 D、22526三.例题分析:例 1正四棱锥 中,高 ,两相邻侧面所成角为 , ,SACD6SO3tan(1)求侧棱
6、与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。解:(1) 作 于 ,连结 ,则 且 ,故 是相邻侧面所成二面CFSBAFCBAFSBAFC角的平面角,连结 ,则 , ,在 与 中, O2ORttOtan2OFC(其中 为 与底面所成的角,设为 ) 故 。 sinOFB 3sin,602(2)在 中,侧棱 = , ,RtSsinSBa42cotBS边长 ;取 的中点 ,连结 ,则 是正四棱锥的斜高,24BCCEE在 中,斜高 ;tSE2S7GFED C1B1A1CBA例 2如图正三棱锥 中,底面边长为 ,侧棱长为 ,若经过对角线 且与对角线1ABCa2a1B平行的平面交上底面于 。
7、(1)试确定 点的位置,并证明你的结论;(2)求平面 与侧面1BCDD所成的角及平面 与底面所成的角;(3)求 到平面 的距离。 A1 1A1BD解:(1) 为 的中点。连结 与 交于 ,则 为 的中点, 为A1AB1E 平面 BD与平面 的交线, /平面1C11D / , 为 的中点。EA(2)过 作 于 ,由正三棱锥的性质, 平面 ,连结 ,则D1FB1,ADF1ABDG为平面 与侧面 所成的角的平面角,可求得 ,G11 34a由 ,得 ,11BFA:34FGa4F 为 的中点, ,由正三棱锥的性质, , 平面D1C11BDAC1ABD11AC , 是平面 与上底面所成的角的平面角,可求得
8、,1tan2A1arctn2(3)过 作 , 平面 , , 平面1MDB1AC1BDAM11ABD即 是 到平面 的距离, ,11132a16a例 3如图,已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形, ,且该侧面垂PABP045PAC直于底面, , , , 90ACB1,6C13(1)求证:二面角 是直二面角;(2)求二面角 的正切值;P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截,得到一个几何体 ,1ABC求几何体 的侧面积1ABC证 (1) 如图,在三棱锥 中,取 的中点 PABCD图 313P C1 CBAA1 B1图 3131PC1CBAEA1B1D由题设知 是等腰直角三角形,且 PACPA
9、CPDAC 平面 平面 , 平面 , 1BB , 平面 ,B 平面 , 平面 平面 ,PAPAC即二面角 是直二面角C解 (2)作 , 为垂足,则 是二面角 的平面角在DEBEBPEDABC中, ,则RtB10,68,4D由 ,得 ARt: ,BCAE1052 所求正切为 tanPDE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC , 846PAS6421PS ,2ED251340PABS4 , 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 3126PABCPAS1ABC39214S几 何 体 棱 锥 侧四、作业 同步练习 g3.1069 棱锥1给出下列命题:底面是正多边形的棱锥是正棱锥;侧棱都相等的
10、棱锥是正棱锥;侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的个数是( )A0(B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点 在底面的射影 在SA SO内,那么 是 的( )O垂心 重心 外心 内心()A()B()C()D已知三棱锥 的三个侧面与底面全等,且 , ,则以 为棱,以面 与面3DA 3ABC2BCBD为面的二面角的大小是( )C4(3()2()324、若 P 是正四面体内一点,P 到各面距离之和是一个定值,这个定值等于( )A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高C、正四面体相对棱间的距离 D、正
11、四面体的高5、若一个三棱锥中,有一条棱长为 a,其余棱长均为 1,则其体积 取得最大值时 的值为( ))(aFaA、1 B、 C、 D、2325266、一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为 1:3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为( )A、1:3 B、1:2 C、1: D、1:37、正三棱锥的高是 ,侧棱长是 ,那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 378、三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度分别为 1cm,2cm,3cm,则此棱锥的体积为 。9、已知三棱锥 A-BCD 的体积为 V,棱 BC 的长为 a,面 ABC 和面 DBC 的面积分别为 S1 和 S2,设面 AB
12、C 和面 DBC所成二面角为 ,则 . sin10、三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=AB=AC=a,则该三棱锥表面积 S 的取值范围是 ;体积 V 的取值范围是 . 11如图,已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形, ,且该侧面垂直于底面,PABCP045PAC, , , 90ACB1,613(1)求证:二面角 是直二面角;(2)求二面角 的正切值;P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截,得到一个几何体 ,求几何体 的侧面积1ABC1ABCPC1CBAA1B112、已知在四面体 ABCD 中, = a, = b, = c, G平面 ABC PABPC(1)若 G 为 ABC 的
13、重心,试证明 (a+b+c);31(2)试问(1 )的逆命题是否成立?并证明你的结论参考答案ADCDDD7、 8、1cm 3 9、 10、 6021sva22)13(aSa380V11、证 (1) 如图,在三棱锥 中,取 的中点 PABCD由题设知 是等腰直角三角形,且 PACPACABCDGP图 3131PC1CBAEA1B1D 平面 平面 , 平面 , 1ACBPDABC , 平面 ,AC 平面 , 平面 平面 ,P即二面角 是直二面角解 (2)作 , 为垂足,则 是二面角 的平面角在 中,DEBPEBPEDABCRtABC,则10,6ABC8,4A由 ,得 Rtt: ,BE10652 所求正切为 tanPDE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC , 846PAS6421PS ,2ED251340PABS4 , 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 3126PABCPASS1ABC39214S几 何 体 棱 锥 侧12、解:(1)连 AG 交 BC 于 D,则 D 平分 BC,且 G 分 所成的比为 21,从而AD,AGP32a,)2(1)()(1)(2 acbPCPBCAD故 2cbacb(2)逆命题成立,证明如下:设 D 分 所成的比为 p, G 分 所成的比为 qBAD则 , )(1PBCp )(1PADA,CpPBpP1于是, )1(1PACpPB