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1、大庆师范学院固体物理课程论文（设计）一维晶格振动的局域模研究一维晶格振动的局域模研究戚云戚云泽泽（大庆师范学院 物理与电气信息工程学院，2008 级物理教育班 黑龙江 大庆 163712）摘摘 要：要：近年来，纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。通过原子、分子操纵，实现在纳米尺度上对材料进行加工，完成单原子、单分子电子器件的制作，一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展，人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质
2、的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。关键字：关键字：一维原子链，杂质，晶格振动、局域模作者简介：作者简介：戚云泽（1989-），男，黑龙江省鹤岗市人，大庆师范学院物电学院学生，0 0 引言引言研究材料的晶格振动，首先就要研究最简单的情况完整晶格中的晶格振动情况。晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个院子的振动也并非是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分
3、立的振动模式，可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子，h其中是振动模式的角频率。1 1 一维单原子链中的晶格振动一维单原子链中的晶格振动晶格具有周期性。因而，晶格的振动模具有波得形式，称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征，但也有它不同的特点。图 1-1 所示的单原子链可以看作是一个最简单的晶格，在平衡时相邻原子距离为 a（即晶格常数为 a） ，每个原胞内含有一个原子，都具有相同的质量 m，原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置，用代表第 n 个原n子离开平衡位置的位移，第 n 个原子和第 n+1 个原子间的相对位移是，n
4、n_1下面先求由于原子间的相互作用，原子所受的恢复力与相对位移的关系。大庆师范学院固体物理课程论文（设计）图 1-1 一维单原子链设在平衡位置是，两原子间的相互作用势能为 U（a） ；原子偏离平衡位置时，两原子间距离变为 r=a+，为相对位移从，势能变为 U（a+） ，我们nn_1把 U（a+）在平衡位置附近用泰勒级数展开，得到：（1-.2221)()()(2 rdUd drdUaaaUaUrU1）其中 U（a）为常数，（因为 r=a 是为平衡位置，U 处于最低点） 。0 drdUa由于我们考虑的是微振动，很小，故上述展开式可近似的只保留到项。2这种近似称为简谐近似，因此可得出二原子间作用力为
5、简谐力的结论，对（1-1）求导可得出二原子间的恢复力：(1-2) rdUdaddU drdUf22上式中称为恢复力常数。在简谐近似下，相邻原子间的作用力 rdUda22 为，表明存在于相邻原子间的事正比与相对位移的弹性恢复力。f大庆师范学院固体物理课程论文（设计）运用牛顿运动定律直接解运动方程，求解链的振动模。对于链中的第 n 个原子，他受到左右两个相邻原子对它的作用力，左方第（n-1）个原子与它的相对位移为，1nn 对应的作用力为，右方第（n+1）个原子与它的相对位移)(11nnnf为，对应的恢复力为，从而得到：nn1)(11nnnf 1122nnnnn tddm(1-3)nnn211每个原
6、子对应一个方程，若原子链中有 N 个原子，则有 N 个方程，式（1-3）实际上代表着 N 个联立的线性齐次方程。设方程组（1-3）的解是一振幅为 A，角频率为的简谐振动：enaqaxinqA)(其中，A 为常数。代入方程（1-3） ，有（1-4） eeeeinaqtinqntinaqtinaqtiAAAAm)()1()()(22即（1-5） aqmaqm214cos12sin22式（1-5）与 n 无关，表明 N 个联立的方程都归结为同一个方程。也就是说，只要与 q 之间满足（1-5）式的关系， （1-4）式就表示了联立方程的解。通常把与q 之间的关系称为色散关系如图（1-2）图（1-2）不同
7、原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为 aq。式中 qna 表示第 n 个原子振动的位相因子。如果把式中的 aq 改变一个（2）的整数倍，所有的原子的振大庆师范学院固体物理课程论文（设计）动实际上完全没有任何不同。为了满足波函数单值性的要求我们可以把 aq 限制在下面的范围内:(1-6)aq即（1-7）aqa这个范围以外 q 值，并不能提供其他不同的波。这是，我们通常把 q 的取值范围称为布里渊区。格波的这个特点可以用图 1-3 说明。 （为了便于图示，以下的图中吧每个原子的位移画在垂直于链的方向。 ）图中实线表示把原子振动看成的波，aq2虚线表示完全相同的原子振动，同样可以当做是的波，二者
8、 aq 相差 2.按aq25照前一种方式，两相邻原子振动位相差是，后一种方式相当于认为它们的位相差2为，效果当然是完全一样的。)22(图 1-3 格波的不唯一性2 2 一维双原子链（复式格子）中的晶格振动一维双原子链（复式格子）中的晶格振动图 1-4 一维双原子连考虑由两种不同原子所构成的一维复式格子，相邻两种原子间的距离为 2a（2a为这复式格子的晶格常数） ，如图 1-4 所示。质量为 m 的原子位于，2n-1,2n+1,2n+3，个点；质量为 M 的原子位于，2n-2,2n，2n+2，各点，大庆师范学院固体物理课程论文（设计）设 Mm，原子间距为 a，晶格的周期为 2a，每个元胞含有两个
9、不同的原子。设链的元胞数为 N，链长则为 L=2Na。只考虑邻近原子间的相互作用，并采用简谐近似，设原子间力常数为，原子 i 对平衡位置的偏移量用表示（以右方为正） 。类似于方程（1-3）可得：（1-8）)()()()(12221222221212222122nnnnnnnnnntdtddMdm这是两个典型的运动方程。当原子链包含 N 个元胞时，它实际代表 2N 个方程的联立方程组。设这个方程组有下列形式的格波解：（1-9）etanqinA)12(12（1-10）etnaqinB22将式（1-9） 、 （1-10）代入方程（1-8）中，除去共同的指数因子后，可以得到：（1-11） 0)2()c
10、os2(0)cos2()2(22BMAqaBqaAm 对于上述线性方程，若 A、B 存在不为零的解，则其系数行列式必须等于零，即（1-12） qamcos222 02cos22 Mqa由此可以解得（1-13）22)()2cos(221 2qamMMmMmmM由上式可以看到，与 q 之间存在着两种不同的色散关系，即对于一位复式格子，可以存在两种独立的格波。这两种不同的格波各自有自己的色散关系：（1-14）)2cos(222)(21 21qamMMmMmmM（1-15）)2cos(222)(21 22qamMMmMmmM大庆师范学院固体物理课程论文（设计）同一维单原子链一样，对于复式格子，可以将
11、q 值限制在（） ，其中aa2,22a 为这复式格子的晶格常数。因为 2qa 介于（） ，所以的最大值为,1 mMMmmM2121max1（1-16）M221而的最小值为：2 mMMmmM2121min2（1-17）m221因为 Mm，从而比还要大。即一支的格波频率总比一支的频min2max112率低。实际上，一支的格波可以用光束激发，所以常称为光频支格波，简称光2学波。而一支则称为声频支格波，简称声学波。1大庆师范学院固体物理课程论文（设计）图 1-5 一位复式晶格的色散关系3 3 结束语结束语本文我们讨论了完整一维原子链中的晶格振动。首先对一维单原子链进行讨论，得到了一维单原子链的色散关系，以及波数 q 的取值范围。然后对一维双原子链的晶格振动情况进行了讨论，得知其振动频谱分为声学和光学两支。由于本人学识有限，文中难免有不足之处，恳请老师批评指正。参考文献参考文献1方俊鑫，陆栋，固体物理学（上册），上海科学出版社，19802黄昆，韩汝琦，固体物理学，高等教育出版社，19883陈霞，固体物理学，河南大学出版社，19984李中正，固体物理，高等教育出版社，2002大庆师范学院固体物理课程论文（设计）姓名戚云泽论文题目一维晶格振动的局域模研究成绩教师评语
