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1、全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二1列方程（组）解应用题是我们感到困难的问题之一，下面通过一些例子来看怎样解答这类题目。一、列一次方程解应用题例 1 天津市奥林匹克中心体育场“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10 千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车同学速度的 2 倍，求骑车同学的速度（）设骑车同学的速度为 x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表 （要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车
2、x10乘汽车10（）列出方程（组） ，并求出问题的解解： （）速度（千米时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车xx1010乘汽车x2x21010（）根据题意，得 31 21010xx整理，得 2x=30 解得 15x经检验，是原方程的根 15x答：骑车同学的速度为每小时 15 千米 这是天津市 2008 年的一道中考数学试题，这道题给我们提供了一种列一元一次方程解应用题的方法，你能看懂这个题的解题过程并理解这种方法吗？如果看懂了，你可以知道这就是列方程（组）解应用问题的一般方法。如果看不懂，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二2我们来一起分析。例 2 京津城际铁路将
3、于 2008 年 8 月 1 日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了 6 分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶 40 千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？分析：（1）这个题目中说的是行程，在这个问题中有三个量：时间、速度、路程。我们知道这三个量之间有数量关系：路程=速度时间（将这个式子变形，还可以得到：速度=路程时间， 时间=路程速度）（2）这个题目中说的是“由北京到天津”和“由天津返回北京”两个方面。（3）这个题目中问的是：
4、“北京到天津的平均速度是每小时多少千米？”我们可以设北京到天津的平均速度是 x 千米/时我们分析题目时分析了三个问题，一是题目中的数量关系，二是题目涉及的两个方面，三是将题目中的未知量用字母 x 表示。在此之后，可以设计表格：速度（千米时）时间（时）路程（千米）由北京到天津由天津返回北京我们根据题意，完成填表： 速度（千米时）时间（时）路程（千米）由北京到天津x60630s（为定值）由天津返回北京x+406030s（为定值）思考：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二3（1）在表中我们发现了哪个量没有发生变化？显然是北京与天津间城际列车行驶的路程。这样我们可以写出等量关系：
5、列车由北京到天津行使的路程=列车由天津返回北京行使的路程（2）怎样表示上面的等量关系？利用时间、速度、路程三个量之间的数量关系：路程=速度时间，可以将上面的等量关系表示为： x=（x+40）60630 6030x=（x+40）就是我们列出的方程,它是一元一次方程。60630 6030解题时，只要下面的过程就可以了，上面的分析列表-思考可以在草稿纸或脑子里完成。解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天x津返回北京的平均速度是每小时千米(40)x根据题意，得 3061(40)602xx整理，得 =20 解得 10x200x 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时 200
6、 千米例 3 2008 年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到 30 千米远的郊区进行抢修维修工骑摩托车先走，15 分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度分析：（1）数量关系：路程=速度时间（将这个式子变形，还可以得到：速度=路程时间， 时间=路程速度）（2）两方：摩托车和抢修车（或维修工和维修队）（3）未知量：设摩托车的速度为 x 千米/时，则抢修车的速度为 1.5x 千米/时全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二4列表：速度（千米时）时间（时）路程（千米）摩托车xx3030
7、抢修车1.5xx5 . 13030思考：（1）等量关系：摩托车行驶的时间=抢修车行驶的时间6015（2）用代数式表示等量关系：=+ ，它是分式方程。 x30 x5 . 130 6015解：设摩托车的速度为 x 千米/时，则抢修车的速度为 1.5x 千米/时 根据题意，得 =+ 即 x30 x5 . 130 601530201.4xx去分母，得 12080= x 解得 40.x 经检验，x = 40 是原方程的根。 1.51.5 4060.x 答：摩托车的速度为 40 千米/时，抢修车的速度为 60 千米/时 例 4 为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款已知第一次捐款总额为 9000 元，第
8、二次捐款总额为 12000 元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多 50 人求该校第二次捐款的人数分析：（1）数量关系：人均捐款= （将这个式子变形，还可以得到：捐款人数捐款总额捐款总额=人均捐款捐款人数， 捐款人数=）人均捐款捐款总额（2）两方：第一次捐款和第二次捐款（3）未知量：设第二次捐款 x 人，则第一次捐款（x50）人列表：人均捐款（元）捐款人数（人）捐款总数（元）第一次捐款509000 xx509000全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二5第二次捐款x12000x12000思考：（1）等量关系：第一次人均捐款数=第二次人均捐款数（2）用代数式表示等
9、量关系：= ，它是分式方程。509000 xx12000解法一：设第二次捐款人数为人，则第一次捐款人数为人x(50)x根据题意，得 900012000 50xx去分母，得 9000x=12000x600000 解得 200x 经检验，是所列方程的根200x 答：该校第二次捐款人数为 200 人上面的方法，我们按照它的完成过程称作：“分析列表思考解”的方法。我们发现用“分析列表思考解”的方法，可以用来列一元一次方程（或可化为一元一次方程的分式方程）解应用题。还可以用这样的方法列二元一次方程（组）解应用题。例 5 群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，由康乃
10、馨和水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求第三束鲜花的价格分析：（1）数量关系：鲜花总价=鲜花单价这种鲜花的支数（2）两方：第一束花和第二束花（3）未知量：设康乃馨每支 x 元，水仙花每支 y 元列表：单价支数总价共计 19 元共计 18 元第三束水仙花康乃馨全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二6第一束花康乃馨每支 x 元，水仙花每支 y 元康乃馨 3 支，水仙花 1 支19 元第二束花康乃馨每支 x 元，水仙花每支 y 元康乃馨 2 支，水仙花 2 支18 元思考：（1）等量关系：第一束鲜花的总价=19 元第二束鲜花的总价=18 元
11、（2）用代数式表示等量关系：3x+18y=19，2x+2y=18，可以联立成二元一次方程组。 解：设康乃馨每支 x 元，水仙花每支 y 元 根据题意， 得 解得 3192218xyxy 54xy 第三束花的价格为 353417xy 答：第三束花的价格是 17 元 二、列二次方程解应用题我们可以发现，可以列一次方程解决的问题有一个共同的特点，就是题目中经常出现两方。例如，前面题目例 1 中的“乘车和骑车”，例 2 中的“由北京到天津和由天津返回北京”，例 3 中的“摩托车和抢救车”，例 4 中的“第一次和第二次”，例 5 中的“第一束花和第二束花”等，而下面的例题则没有这样的特点，这样的题目可能
12、会用列二次方程来解。例 6 某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同（1）该公司 2006 年盈利多少万元？ （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万元？分析：（1）数量关系：在这个问题中有三个量：基数（原有部分），增长部分、增长率，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二7其中，增长率=基数增长部分（2）列表：设年盈利平均增长率为 x基数增长部分总数2005/1500200615001500x1500+1500x=1500（1+x）2007
13、1500（1+x）1500（1+x）x2160（3）2007 年的盈利为：1500（1+x）+1500（1+x）x =1500（1+x）（1+x）=1500（1+x）2（4）等量关系：2007 年的盈利=2160即 1500（1+x）2=2160，它是一元二次方程。解：（1）设年盈利的平均增长率为 x ，根据题意，得 21500(1)2160x解得（不合题意，舍去）120.22.2xx ，1500(1)1500(1 0.2)1800x答：2006 年该公司盈利 1800 万元 （2） 2160(1 0.2)2592答：预计 2008 年该公司盈利 2592 万元 想一想：如果我们不设“年盈利平
14、均增长率为 x”，直接设“2006 年该公司盈利 x 万元”行不行？2005 年，2006 年，2007 年该公司的盈利数分别为：1500，1500（1+x），1500（1+x）2。我们发现这三个数很有意思，=1+x，=1+x，即 150011500x xx 11500115002=。也就是说： 150011500x xx 115001150022006 年盈利数：2005 年盈利数=2007 年盈利数：2006 年盈利数这样我们可以直接设：2006 年该公司盈利 x 万元。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之二8新解：设 2006 年该公司盈利 x 万元根据题意，得 21
15、601500x x（注意：（注意：这这个方程我个方程我们们没有没有见过见过，但是可以利用我，但是可以利用我们们学学过过的的“比例的基本性比例的基本性质质”去解。去解。 ） ）整理，得 x2=15002160， 解得 x=1800（负值舍去）经检验，x=1800 都是原方程的解答：2006 年该公司盈利 1800 万元。例 7 某商店购进一种商品，单价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：若商店每天销售px1002px这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？分析：（1）题目中有 4 个量：进价、销售价、利润、销售量，这些量中存在的数量关系有：（销售价-进价）销售量=利润。（2）题目中还给出了销售量 p（件）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系：（其中 x 为正整数）1002px（3）设每件的销售价为 x 元，每天出售商品 p 件（4）两个等量关系：（销售价-进价）销售量=利润、1002px解法一：设每件的销售价为 x 元，每天出售商品 p 件根据题意，得 30200110022xpPx（注意：（
