《金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、08 金属的结构和性质金属的结构和性质【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。解：4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1（a）和(b)，图 9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。图图 9.1由图和正四面体的立体几何知识可知：边长 AB=2R高1 212 222221 3AMAEEMABBEDE11222222221132233ABABAERRR 261.6333RR中心到顶点的距离：361.22542OAAMRR中
2、心到底边的高度：160.40846OMAMRR中心到两顶点连线的夹角为：AOB 22222 11 226/22 coscos226/2RROAOBAB OAOBR1cos1/3109.47中心到球面的最短距离0.225OARR本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题 9.04)。【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。解：正八面体空隙由
3、6 个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。图图 9.2由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1112222222OCACABRR而八面体空隙中心到球面的最短距离为：20.414OCRRRR 此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/rr的下限值。【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 2
4、231.15533OAADRR图图 9.3 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OARRRR此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155 是“三角形离子配位多面体”中/rr的下限值。【8.4】半径为R的圆球堆积成3A结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。解：图 9.4 示出 A3 型结构的个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4 个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数 c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。根据 9.01 题的结果，可得：图图 9.4 2abR 2462633
5、cRR2/61.6333c a 【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为 0.154R的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R的小球。 证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图 9.5（a）和（b） 。由图 9.5（a）可见， 八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中 6 个八面体空隙 1161224。而每个晶胞中含 2 个圆球，所以每个球平均摊到 3 个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a（a是晶胞参数） 。（圆球，o八面体空隙中心，g四面体空隙中心） 图图 9.5八面体空隙所能容纳的小球的
6、最大半径0r即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该距离为2aR 。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在3C轴方向上互相接触，因而 4 3aR 。代入2aR ，得0210.1543rRR。 由图 9.5（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有 4 个四面体中心，因此每个晶胞有 12 个四面体空隙16 42 。而每个晶胞有 2 个球，所以每个球平 均摊到 6 个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为a，4 条短棱皆为3 2a 。四面体空隙所能容纳的小球的最大半径Tr等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球的半径 R。而从空隙中心到顶点的距离为1 2225 244aaa，
7、所以小球的最大半径为5540.291443aRRRR【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。 解：图 9.6 示出等径圆球密置单层的部分。图图 9.6 由图可见，每个球(如 A)周围有 6 个三角形空隙，而每个三角形空隙由 3 个球围成，所以每个球平均摊到1623 个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该 单位只包含一个球（截面）和 2 个三角形空隙，即每个球摊到 2 个三角形空隙。 设等径圆球的半径为 R，则图中平行四边形单位的边长为 2R。所以二维堆积系数为：22220.906 2sin6043/2RRRR 【8.7】指出1A型和3A型等
8、径圆球密置单层的方向是什么？解：A1 型等径团球密堆积中，密置层的方向与3C轴垂直，即与(111)面平行。A3 型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。A1 型密堆积可划分出如图 9.7(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即3C轴。每一晶胞有 4 条体对角线，即在 4 个方向上都有3C轴的对称性。因此，与这 4 个方向垂直的层面都是密置层。图图 9.7A3 型密堆积可划分出如图 9.7(b)所示的六方晶胞。球 A 和球 B 所在的堆积层
9、都是密置层这些层面平行于(001)晶面，即垂直于 c 轴，而 c 轴平行于六重轴6C。【8.8】请按下面（a）（c）总结1A、2A及3A型金属晶体的结构特征。（a）原子密置层的堆积方式、重复周期（2A型除外） 、原子的配位数及配位情况。（b）空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目。（c）原子的堆积系数、所属晶系、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空间点阵型式等。解： (a)A1，A2 和 A3 型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积(ccp)、体心立方 密堆积(bcp)相六方最密堆积(hcp)。A1 型堆积中密堆积层的重复方式为 ABCABCABC，
10、 三层为一重复周期，A3 型堆积中密堆积层的重复方式为 ABABAB，两层为一重复周期。 Al 和 A3 型堆积中原子的配位数皆为 12，而 A2 型堆积中原子的配位数为 814，在 A1 型 和 A3 型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触同层 6 个，上下两层各 3 个。所不同的是，A1 型堆积中，上下两层配位原子沿3C轴的投影相差60呈6C轴的对称性，而 A3 型堆积中，上下两层配位原子沿 c 轴的投影互相重合。在 A2 型堆积中，8 个近距离(与中心原子相距为3 2a )配位原子处在立方晶胞的顶点上，6 个远距离(与中心原子相距为a)配 位原子处在相邻品胞的体心上。(b)A1 型堆积和
11、 A3 型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可容纳半径为0.225R的小原子八面体空隙可容纳半径为0.414R的小原子(R 为堆积原子 的半径)。在这两种堆积中，每个原子平均摊到两个四面体空隙和 1 个八面体空隙。差别在 于，两种堆积中空隙的分布不同。在 A1 型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角线上，到晶胞顶点的距离为6 2R 。八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上。在 A3 型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为35 2 1 1 2 1 70,0,;0,0,;,;,88 3 3 8 3 3 8。而八面体空隙中心的坐标参数分别为2 1 1 2 1 3,
12、;,3 3 4 3 3 4。A2 型堆积中有变形八面体空隙、 变形四面体空隙和三角形空隙(亦可视为变形三方双锥空隙)。八面体空隙和四面体空隙在 空间上是重复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均摊到 3 个八面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.154R。四面体空隙中心处在 晶胞的面上。每个原子平均摊到 6 个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为 0.291R。三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到 12 个三角形空隙。 （c） 金属的结构形式A1A2A3原子的堆积系数74.05%68.02%74.05% 所属晶系立方立方六
13、方 晶胞形式面心立方体心立方六方晶胞中原子 的坐标参数1 10,0,0;,0;2 2 111 1,0,;0,222 20,0,0; 1 1 1,2 2 20,0,0; 2 1 1,3 3 2晶胞参数与 原子半径的关系2 2aR4 3aR2 463abRcR点阵形式面心立方体心立方简单六方 综上所述，A1，A2 和 A3 型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性，也有差 异。尽管 A2 型结构与 A1 型结构同属立方晶体，但 A2 型结构是非最密堆积，堆积系数小， 且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。A1 型 和 A3 型结构都是最密堆积结构，它们的
14、配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。 差别是它们的对称性和周期性不同。A3 型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方 晶胞。其密置层方向与 c 轴垂直。而 A1 型结构的对称性比 A3 型结构的对称性高，它属立 方晶系，可划分出包含 4 个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1 型结构将原子密置层中6C轴所包含的3C轴对称性保留了下来。另外，A3 型结构可抽象出简单六 方点阵，而 A1 型结构可抽象出面心立方点阵。【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。 解：等径圆球的密置双层示于图 9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本 的结构单位
15、包括 2 个圆球，即 2 个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中， 如球 A 和球 B。图图 9.9 密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为 二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层 的点阵素单位一样，每个单位也只包含 1 个点阵点，但它代表 2 个球。 等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双 层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由 3 个相邻的 A 球 和 1 个 B 球或 3 个相邻的 B 球和 1 个 A 球构成。后者则由 3 个相邻的 A 球和 3 个相邻的B 球构成。球数:四面体空隙数:八面体空隙数=2:2:1【8.10】金属铜属于1A型结构，试计算（111） 、 （110）和（100）等面上铜原子的堆积系 数。 解：参照金属铜的面心立方晶胞，画出 3 个晶面上原子的分布情况如下（图中未示出 原子的接触情况）：（111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等 于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为 R 的球113326 ，所以该面上原子的堆积系数为：220.90622
