2005年硕士研究生入学考试及答案

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1、目录目录 1. 05 年北师大物理类各方向年北师大物理类各方向2. 05 年长光所年长光所3. 05 年东南大学年东南大学4. 05 年中科大年中科大5. 05 年南京大学年南京大学6. 05 年华中科大年华中科大7. 05 年吉林大学（原子所）年吉林大学（原子所）8. 05 年四川大学（原子与分子）年四川大学（原子与分子）9. 05 年北京理工年北京理工10. 05 年河北理工年河北理工11. 05 年长春理工年长春理工北京师范大学北京师范大学 2005 年招收硕士研究生入学考试试题年招收硕士研究生入学考试试题 专业专业:物理类各专业物理类各专业 科目代号科目代号:459 研究方向研究方向:

2、各方向各方向 考试科目考试科目:量子力学量子力学 注意注意答案写在答题纸上，写在试题上无效。答案写在答题纸上，写在试题上无效。1.(20 分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用 ev 表示）（，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30 分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。（2）请推导电子的径向运动方程。并讨论其在时的渐近解。提示：极坐标下 3（50 分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无 相互作用（此题中波函数无须写出具

3、体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发 能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。 （10 分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。（15 分）（3 分）如果两个粒子是不可分辨的自旋 1/2 粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。如果粒子间互作用能为 ，计算基态能量。（15 分） （4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。有两个探测器分别（同时）测量它们 的 y 方向自旋角动量。请问测量结果为两电子自旋反向的几

4、率是多少？（10 分）4（30 分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。总角动量，是的共同本征态 。现有一电子处于态，且。（1） 在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？ （2） 请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在 z 方向均匀磁场 B 中电子的能量改变多少？（），当，当，5（20 分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋 1/2）处于 z 方向强磁场中。自旋朝下（z 轴负方向）。此时加上一个 y 方向交变弱磁场。其频率可调。自旋朝上与朝下态的能量差可写成。在的条件下，用微扰方法求出很 短时间后粒子自旋朝上的几率。参考解一由 在态下或：由维里定理：即 二（1）（2）。二维

5、中心力场（卷 I p347 ）,守恒量完全集，能量本征态为其中 径向薛定谔方程为（1）或令，薛定谔方程为（2）时，（1）式变为无量纲化。解为 ，考虑到束缚态边界条件附：之渐近解：时（1）变为，有三1 可分辨一经典粒子体系基态：第一激发态 2无自旋的 Bose 子系 基态第一激发态 基态的一级修正3。S=1/2 Fermion 系（1）无相互作用时基态：，（2）计入相互作用 守恒量完全集，（1）中仍为的本征态，且 4完备测量态之性质此时两电子自旋态为（纠缠态）直接回答：由于具有球对称性，故在此态下同时测量两个电子反平行之几率仍为 1（也同样）推导：之态 四 守恒量完全集取为 ，的本征态为且 在一

6、级近似下：五含时微扰与自旋在外磁场中由含时的周期微扰：上式中方括号内第一项表示由高能级向下跃迁放出量子，第二项表示由低能级向上跃迁吸收量子，本题初态（低能级），末态态（高能级）。由其中 在条件下，由中国科学院长春光学精密机械与物理研究所中国科学院长春光学精密机械与物理研究所 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试量子力学试题年招收攻读硕士学位研究生入学考试量子力学试题 1（30 分） 一个质量为 m 的粒子在下面的无限深方势阱中运动t=0 设系统处于由波函数描写的状态，其中 A 为常数。请求出 t 时刻系统(a)处于第一激发态的几率; (b)位置 x 的平均值; (c)能量平均值.2. (

7、20 分) 质量为 m 的粒子在下面的三维谐振子势中运动,请求出 (a)能量本征值;(b)第 2k 个激发态的简并度3. (20 分)系统处于状态 中,其中 为已归一的球谐函数.试求轨道角动量分量在此态中的不确定度 (这里，的 定义类似).4. (30 分) 在均匀恒定的弱外磁场 B 中的氢原子可用哈密顿量 近似描写,其中 为无外磁场时的哈密顿量.请问原来的第一激发态在磁场中劈裂为 几条能级,能级间隔是多大(写出表达式即可),以及各能级的简并度。5. (30 分) 设有质量为 m,带电量为 q 的自旋为 1/2 的粒子处于匀强恒定磁场 B 中,B 指向沿 x 轴的正方向.我们知道,该体系的 H

8、amilton 量为其中 ,而 是 Pauli 矩阵,设 t=o 时刻的量子态为(a)求出在任意时刻的态;(b)考虑在某个时刻 对 测量 的值,计算得到+1 这一结果的几率;(c)假设在时刻测量得值并得到+1 的结果,那么在以后的某一个时刻 接着再测量，你会得到怎样的结果？该结果是必然的而且确定 (即几率为 1)的吗?如果不是必然的，那么测量得值 1 的几率是多少？6. (20 分) 一个两能级系统的哈密顿量被表示为其中 ， ， 皆为实数, ,而 是一个小量,即。 (a)先用微扰论求解此系统,计算能级的一级修正. (b)精确求解该系统的能级,并说明(a)中结果的合理性.一此题，原题不对，宽为

9、2a 对称无限深势阱a)归一化后第一激发态 n=2,几率为零。 b)理由:x 奇宇称宇称选择定理. C)二令a)即基态b) 第个激发态。时简并度。此时分析：。简并度。简并度。简并度故第 2k 个能级简并度 检验（1）可能态 （2）三归一化：方法 1 在态中有确定值，故 这一点可由下述方法验证：且故 方法 2 ： 由于与分属不同的不变（对）子空间，即故 即的平均值及不确定度，可分不同的子空间分别计算对态 对态 对态 四复杂塞曼效应（卷 I p418）弱场1) 其中 精细结构 无磁场守恒量完全集能量本征态能级 简并度重 .2) 有磁场时,先忽略一项,此时守恒量完全集仍为本征态 能级 分裂为条(偶数

10、)3) 中最后一项对能级分布变化不明显,严格处理最后一项的困难在于但 j 不再是好量子数,由简并微扰()重,做一级近似,若忽略不同 j 之影响,且由于即在同一的重简并子空间中已对角且附： 五. 在表象中, , ; b) 时刻之几率为c) 时刻测后,体系态塌缩至未归一化归一化为 为方便计,设,且体系不变(有外场) ,测时,体系由之初态演化为此时测得几率得几率若即，则之几率为 1六二能级非简并微扰与严格解略 东南大学东南大学二二 00 五年攻读硕士学位研究生入学考试试卷五年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 请考生注意：试题解答务请考生做在专用请考生注意：试题解答务请考生做在专用“答题纸答题纸”上！上

11、！ 做在其他答题纸上或试卷上的解答将被视为无效答题，不予评分。做在其他答题纸上或试卷上的解答将被视为无效答题，不予评分。 课程编号：课程编号：315 课程名称：课程名称： 量子力学量子力学 一15 分试证明，对于任意势垒，粒子的反射系数及透射系数 D 满足二20 分利用测不准关系估算谐振子的基态能量三10 分证明不存在非 0 的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易，即设 ,则 四20 分设粒子处于范围在0,a的一维无限深势阱中，状态用波函数描写，求粒子能量的可能测量值及相应几率五25 分荷电 q 的谐振子，受到外电场的作用，求能量本征值和本征函数。六.25 分设带电粒子在互相垂直的均匀磁场和均匀

12、电场中运动，求能量本征和本 征函数。七15 分设氢原子处于 n=2 能级，求它的 stark 分裂不考虑自旋八20 分荷电 q 的粒子在平衡位置附近作小振动简谐振动。受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为 ，波长较长。 求：a跃迁选择定则；b设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率提示：1：数学公式 2，跃迁速率公式 一解：令 S-eq 为解为由处及连续条件有解出因为 ，故（参 05 年科大 ）二因 ， ， 由不确定关系：由 ， 有 故附 03 年川大：由测不准关系估计氦原子基态能（参剖析上 5.14）（1）设原子的最可几半径为，在（1）的基态平均值中可取而，由测不准关系，故基态能

13、约为由 得 ，三。 设由 有由 有由 有 四 五位移谐振子解略六带电粒子在电磁场中运动（陈鄂生 p130,4.7）设 取不对称规范(1)守恒量完全集取为 ,的本征态为(2)由于为守恒量,在中可由其本征值替代令 ,则, 且 故本征态:,其中, 七. Stark 分裂(n=2)简并微扰（卷 1 P512）解：不计自旋时能级是 4 重简并的，四个简并态依次编序为取电场沿 z 轴 ，利用可知之选择定则为：故不为零的矩阵元其中 ：， （圆轨迹）故 八量子跃迁（周期场自然光）长波近似偶极近似1）由 选择定则为2）非偏振自然光 偶极跃迁速率由于初态, 末态 ,且, 故中科大中科大 2005 年招收攻读硕士学

14、位研究生入学考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学 1。（20 分）1800 个电子经 1000 伏电势差加速后从处射向势阶其中 。试问在处能观察到多少个电子？如果势阶翻转一下，即 电子射向势阶则结果又如何？2（20 分）质量为 m、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势中运动，同时受到一个沿 x 方向的均匀常电场作用。求粒子的能量本征值和 第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出守恒力学量的表达 式。3。（40 分）一个质量为 m 的粒子在下面的无限深势阱中运动开始时(t=0)，系统处于状态其中 A 为常数。请求出 t 时刻

15、系统 a,处于基态的几率；b ,能量平均值;c ,动量平均值;d ,动量均方差根（不确定度）。4。（30 分）两个具有相同质量 m 和频率的谐振子，哈密顿量为（为两谐振子的平衡位置），受到微扰作用试求该体系的能级。5。（20 分）已知氢原子基态波函数为试对坐标 x 及动量，求由此验证不确定关系。6。（20 分）考虑自旋与角动量的耦合，体系的哈密顿量为是耦合常数，试证该体系的总角动量守恒.(公式提示：在球坐标系内 , )一势阶散射及反转定理 1） 分区 S-eq 解为其中 ， 由处及连续条件有； 解出 ， ，且由 有，在处观察到粒子数=个2） 势阶反转（相当于粒子反向入射）仍有 ， 故 二位移谐振子 守恒量坐标平移 ， ，第一激发态 在平移后的坐标系中 ， 仍为守恒量在原坐标系中看显 但但考虑到 ， 故为守恒量，同时为守恒量。三略 四对角化量子变换