正弦定理、余弦定理的运用

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1、正弦定理、余弦定理应用举例（一） 南通市冠今中学高一数学备课组 一、教学目标 （一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法；2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角 等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. 二、教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. 教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. 三、教学方法 启发式

2、 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在 解三角形时正确选用正、余弦定理. 四、教学过程.课题导入 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们 抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要 提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力. 下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.讲授新课 例 1如图所示，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD，现已 测出 CDa 和ACD，BCD，BDC，ADC，试求 AB 的长分析：如图所示，对于 AB 求解

3、，可以在ABC 中或者是ABD 中求解，若在ABC 中，由ACB，故需求出 AC、BC，再利用余弦定理求解.而 AC 可在ACD 内利 用正弦定理求解，BC 可在BCD 内由正弦定理求解.例 2 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测 出该渔船在方位角为 45、距离 A 为 10 n mile 的 C 处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以 9 n mileh 的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mileh 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。 分析：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 x h，则利用

4、余弦定理建立方程来解决较 好，因为如图中的1，2 可以求出，而 AC 已知，BC、AB 均可用 x 表示，故可 看成是一个已知两边夹角求第三边问题.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在 转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数 量关系从题目准确地提炼出来. 评述：实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识 方法产生联系. 例 3用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空， 分别测得气球的仰角是和,已知 B、D 间的距离为 a，测角仪的高度是 b，求气球的高 度

5、分析：在 RtEGA 中求解 EG，只有一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC 中有较多已知条件，故可在EAC 中考虑 EA 边长求解，而在EAC 中有角，EAC180两角与 BDa 一边，故可以利用正弦定理求解 EA.评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决 例 4如图所示，已知半圆的直径 AB2，点 C 在 AB 的延长线上，BC1，点 P 为 半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边PCD，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四 边形 OPDC 面积的最大值分析：要求四边形 OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点 P 在半圆上运动

6、与POB 大小变化之间的联系，自然引入POB作为自变量建立函数关系.四边形 OPDC 可以分成OPC 与等边PDC，SOPC可用OPOCsin表示，而等边PDC 的面积关键在于边长求解，而边长 PC 可以21在POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决. 评述：本题中余弦定理为表示PCD 的面积，从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可 能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公 式，要认识到这两个定理的重要性. 另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin() sincoscossin的构造及逆用，应要求学生予以重视.

7、课堂作业： P20 2、3、4.课时小结 通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际 问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.课后作业 课本 P21练习 2、3、4正弦定理、余弦定理应用举例（二） 南通市冠今中学高一数学备课组 一、教学目标 （一）知识目标 1.正、余弦定理的应用； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有 着广泛的应用； 2.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化； 3.通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力. 二、教

8、学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. 教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. 三、教学过程.复习回顾 上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化 为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题， 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.例题指导 例 1如图,曲柄连杆机中，当曲柄 CB 绕 C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作直 线往复运动.当曲柄在 CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0处.设 连杆 AB 长为 340 mm，曲柄 CB 长为 85 mm，曲柄自 CB

9、0按顺时针方向旋转 80，求 活塞移动的距离（即连杆的端点 A 移动的距离 A0A） （精确到 1 mm）BCAB0A0分析：如图所示，因为 A0AA0CAC，又知 A0CABBC34085425，所以只 要求出 AC 的长，问题就解决了. 在ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出 AC. 评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围.要求学 生注意解题步骤的总结：用正弦定理求 A求 B求 AC求 A0A.内角和定理正弦定理例 2据气象台预报，距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30的方向移动，在

10、距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响， 问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持 续时间多久?说明理由。分析：设 B 为台风中心，则 B 为 AB 边上动点，SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可 转化为 SB270 这一不等式是否有解的判断，则需表示 SB，可设台风中心经过 t 小时到达 B 点，则在ABS 中，由余弦定理可求 SB.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成 立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB270 是否有解最终转化为关于 t 的一元二次不等式是否有解，与一元

11、二次不等式解法相联系. 例 3书例 3 例 4自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度.已知 车箱的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车箱支点 A 之间的距离为 195 m，AB 与水平 线之间的夹角为 620，AC 长为 140 m，计算 BC 的长 分析：求油泵顶杆 BC 的长度也就是在ABC 内，求边长 BC 的问题，而根据已知条 件，AC140 m，AB195 m，BAC606206620.相当于已知 ABC 的两边和它们的夹角，所以求解 BC 可根据余弦定理.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在 转换过程中应注意“仰角

12、”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数 量关系从题目准确地提炼出来. 课堂作业：1、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是 , (60 BB60 CB60 DB 60课时小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜 三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐 步提高数学知识的应用能力.课后作业 课本 P21习题 1、5 （3）海岛 O 上有一座海拨 1000 米的山,山顶上设有一个观察站 A,上午 11 时,测得一 轮船在岛北 60东 C 处,俯角 30,11 时 10 分,又测得该船在岛的北 60西 B 处, 俯角 60.这船的速度每小时多少千米？如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千 米？D C