《专题选讲探索性、开放性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题选讲探索性、开放性问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题选讲专题选讲 探索性、开放性问题探索性、开放性问题 窍门点击探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学 习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式 多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方 法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题 的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注 这类题型.探索性问题常见的几类题型有:填空题中的开放题;试验、猜想、归 纳型；条件探索型；结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突 出数学思想方法,如等价转化
2、、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证 法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以 检验才能下结论. 范例解剖 例 1以椭圆 x2+a2y2=a2(a1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰 直角三角形 ABC，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不 存在说明理由. 点评:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形, 不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过 C 点作两 条倾斜角为 450和 1350的直线交椭圆于 A,B 两点,则三 角形 ABC 就是满足条件的三角形,探究的
3、主要问题就变 成是有几个这样的三角形,这需要量化的计算、检验方可解出.略解:假设存在 A,B 使得 ABC 是等腰直角三角形,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,CA CBuuu r uuu r即(x1,y1-1) (x2,y2-1)=0, x1x2+y1y2-y1-y2+1=0. 设 CA 的直线方程是 y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a2k2+1)x2+2a2kx=0所以 x1=, x2=,又 y1y2-y1-y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1- k(x1+x2)-2= k2x1x2-1,2222a k a k1 2222a k ak 代入得(k-1)k2-(a
4、2-1)k+1=0(*) 当 1333时,方程(*)除了有 k=1 外,方程 k2-(a2-1)k+1=0 有两个不等的实根,故方程(*)共有三个 根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形. 例 2已知an满足：(n-1)an+1=(n+1)(an-1),a2=6,bn=n+an (nN).（1）写出数列 bn的前 4 项；（2）求出bn的通项公式（写出推理过程） ；（3）是否存在非零常数 p,q 使数列成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理qpnan CxOyAB2由.略解(1)由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),a2=6 得:a1=1,a2=6,a3=15,a4=28
5、.b1=2,b2=8,b3=18,b4=32. (2) 猜想:bn=2n2,an=2n2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数 p,q 使数列成等差数列.qpnan 为了求出 p,q,取数列的前三项即:.321a2aa 2pqpq3pq所以,解得 p+2q=0.12115 2pqpq3pq这里得到的仅仅是为等差数列的必要条件,要想说明是否等差数列,还qpnan qpnan 需进一步验证这一条件是否是充分条件.当 p=-2q 时, -=-.这表明是一个以-为公差的等差n 1a p(n1)q qpnan 1 qqpnan 1 q数列. 所以存在非零常数 p,q 使
6、数列成等差数列.如 p=-2,q=1 就是其中的qpnan 一个. 点评:一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是 比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. qpnan 是等差数列=kn+ban=(kn+b)(pn+q) 2n2-n=pkn2+(kq+bp)n+bq 对任qpnan 意大于 0 的自然数恒成立解得 p+2q=0.这个结果是充要条件,就不pk2 kqbp1 bq0 必验证. 法二:第(2)问:求 bn的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出 an的通项,再
7、解出 bn的通项. 由(n-1)an+1=(n+1)(an-1)得(n-1)an+1-(n+1)=(n+1)(an-n),设 cn=(an-n),则 (n-1)cn+1=(n+1)cn,用逐项作商累乘的方法得:cn=2n2-2n,则 an=2n2-n. 而 bn=n+an=2n2.这样推理就不用数学归纳法证明了. 例 3.已知 a,b,c,d0,1,M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较 M,N 的大小,你能 由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.3略解:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b 1-a
8、-b, 当且仅当 a,b 中至少有一个为 0 时等号成立. 则(1-a)(1-b)(1-c)(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) 1-a-b-c, 当且仅当 a,b,c 中至少有一个为 0 时等号成立. 则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) (1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) 1-a-b-c-d, 当且仅当 a,b,c,d 中至少有一个为 0 时等号成立. 可以猜想一般的结论是(1-a1)(1-a2)(1-an) 1-a1-a2-an,可以用数学归纳法证明(略). 点评:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体
9、现了探 索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例 4已知函数 F(x)=kx2-2()x,G(x)=,(m,kR).（1）242mm21 (xk)是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:F(x)取最大值时 x 的值与 G(x)取最小值时 x 的值相等;k 为整数.(2)将满足条件的实数对(m,k)的集合记为 A,设 B=,求使 AB 的 r 的取值范围.222(m,k) k(m 1)r ,r0略解(1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当 x=,k0.1221224axx1 2a 3xx1 2a 所以,2 222 121222 32aPQ1 a (xx )4x x1 a
10、1 2a所以,解得 a=1 或 a=-1,两个都满足0,22 1 a2 2 22 32a1 a1 2a所以存在整数 a=1 或-1,使得.2PQ2 1 a(2) 以为直径的圆过原点 O 等价于 PQ 的中点 M 到 O 点的距离等于,PQ1PQ2又 M(),则.222a1,2a1 2a122 222a1()()2a12a12 2 2232a(1 a )(1 2a )解得 a2=-2,所以不存在实数 a, 使得以为直径的圆过原点 O.PQ点评:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式, 并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使 用.此
11、外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐 心和毅力. 习题精选 1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面 的大致图形是( ) C5A B C D 2.如图,在三棱锥 A-BCD,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,并使AECF EBFD (0),设 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, 为异面直线 EF 与 BD 所 成的角,则 + 的值是( ) CA. B. C. D.与 有关的变量6 4 23.已知函数 y=f(x),xR,f(0)0,且对于任意的实数 x1,x2都有 f(x1)+f(x2)=2f(),则此函数为( )
12、B12xx 2f(12xx 2A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定 4.如图,圆锥高 SO,AB 为底面圆 O 的直径,AB 为弦,ASB=, ASB=,当 与 满足( )条件时,ASB 的面积大 于ASB 的面积. DA. B. + 2C. 且 +2 25. 过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物于 A、B 两点，若线段 AF、BF)0(2aaxy的长分别为m, n，则等于（ ）Dnmmn ABC2aDa21 a41 4a6. 函数对任意实数x都有，那么（ ）C)(xf) 1()(xfxfA是增函数 B没有单调减区间)(xf)(xfC可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间
13、D没有单调增区)(xf)(xf间7.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间上的图象与 f(x)0,)的图象重合,设 ab0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(a)-f(-b) g(b)-g(-a); f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(a)-f(-b);1+1; 1+;1+2,1 21 21 31 21 31 41 51 61 73 21 21 31 15 你能得出一般的结论吗?是 .1+.1 21 3n1n 2129.已知椭圆,F1,F2是焦点,问椭圆上是否存在点 M,使 M 到左准线的距离22xy143d 是和的比例中项?1
14、MF2MF解:若椭圆上存在满足条件的点,则有,解得 d=,但椭圆的左准1212 12MFMF4MFed dMFMF 8 5线方程 x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为 2,而 d=，n=0，1，2，） na1nana解：由=3+， =3+=3（3+）+=91nanan22na1na12n nan212n na，n2令，即，故数列是单调递增数列521n52n1nanana12. 试问：是否存在常数 c, 使得不等式对任意正数和恒成立？3333ababcababababab试证明你的结论.解： 取，得.1ab1c 先证左不等式，去分母有理化133ab abab .332333333222bababaababbababaabbabababbaa,2baabQ ,22332bababababa得证. ,332bababaab8再证右不等式，去分母有理化133ab abab .,23316334333322得证baabbabaabbabaababbabbaababa综合以上可知，存在常数，使原不等式成立.1c 直击高考: 1 从 1
