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1、3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1已知：z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，若 z1z2是纯虚数，则有( )Aac0 且 bd0Bac0 且 bd0Cac0 且 bd0Dac0 且 bd0答案 D解析 z1z2(ac)(bd)i，又 z1z2为纯虚数所以 ac0 且 bd0.2(ab)(ab)i(ab)(ab)i等于( )A2b2bi B2b2biC2a2bi D2a2ai答案 A解析 原式(ab)(ab)(ab)(ab)i2b2bi.3若|z1|1，则|z2i1|的最大值为( )A1 B2C3 D4答案 C解析 |z1|1 表
2、示以(1,0)为原心，半径为 1 的圆，而|z2i1|表示圆上的点到点(1,2)的距离故最大距离为13 故选 C.(11)2224设 z12bi，z2ai，当 z1z20 时，复数 abi 为( )A1i B2i C3 D2i答案 D解析 z1z2(2bi)(ai)(2a)(b1)i0Error!Error!abi2i5(2010北京文，2)在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A48i B82iC24i D4i答案 C解析 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式由题意知 A(6,5)，B(2,3)，AB
3、 中点 C(x，y)，则 x2，y4，622532点 C 对应的复数为 24i，故选 C.6设 f(z)z2i，z134i，z22i，则 f(z1z2)是( )A15i B29iC2i D53i答案 D解析 z1z2(34i)(2i)55if(z1z2)55i2i53i7若 zC 且|z22i|1，则|z22i|的最小值是( )A2 B3C4 D5答案 B解析 |z22i|1，z 在以(2,2)为圆心，半径为 1 的圆上，而|z22i|是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为 3，如图8ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1、z2、z3，若复数 z 满足|zz1|zz2|zz3|，则 z
4、 对应的点为ABC 的( )A内心 B垂心C重心 D外心答案 D解析 由几何意义知，z 到ABC 三个顶点距离都相等，z 对应点是ABC 的外心二、填空题9已知|z|4，且 z2i 是实数，则复数 z_.答案 22i3解析 z2i 是实数，可设 za2i(aR)，由|z|4 得 a2416a212，a2，3z22i.310(2010徐州高二检测)在复平面内，O 是原点，O，O，A对应的复数分别为ACB2i,32i,15i，那么 B对应的复数为_C答案 44i解析 BOOCCBO(OA)CAB32i(2i15i)(321)(215)i44i11已知 z1a(a1)i，z23(b2)i(a，bR)
5、，若 z1z24，则323b3ab_.答案 3解析 z1z2a(a1)i3(b2)i323b(a3b)(a1b2)i43233Error!解得Error!ab312若|z1|z1|，则|z1|的最小值是_答案 1解析 解法一：设 zabi，(a，bR)则|(a1)bi|(a1)bi|(a1)2b2(a1)2b2即 a0zbi，bR|z1|min|bi1|min(1)2b2故当 b0 时，|z1|的最小值为 1.解法二|z1|z1|，z 的轨迹为以(1,0)，(1,0)为端点的线段的垂直平分线，即 y 轴，|z1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为 1.三、解答题13计算：(1)
6、(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(56i)(22i)(33i)解析 (1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)6(2)3i11i.14(2010株洲高二检测)已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C 三点对应的复数分别是 13i，i，2i，求点 D 对应的复数解析 方法一：设 D 点对应复数为 xyi(x，yR)，则 D(x，y)，又由已知 A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)AC 中点为( ，2)，BD 中点为( ，)32x2y12平行四边形对角
7、线互相平分，Error!，Error!即点 D 对应的复数为 35i.方法二：设 D 点对应的复数为 xyi(x，yR)则 A对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，D又 B对应的复数为(2i)(i)22i.C由已知 AB.DC(x1)(y3)i22i，Error!，Error!.即点 D 对应的复数为 35i.15已知复数 z 满足 z|z|28i.求复数 z.分析 常规解法为：设出 zabi(a、bR)代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出 a、b.解析 解法一：设 zabi(a、bR)，则|z|代入方程得：a2b2abi28i， ，a2b2Error!解得：Error!，即
8、 z158i.解法二：原式可化为：z2|z|8i，|z|R，2|z|是 z 的实数，于是|z|即：(2|z|2)82|z|2684|z|z|2，|z|17代入 z2|z|8i，得：z158i.16(2010徐州高二检测)已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.分析 由题目可获取以下主要信息：|z1|z2|z1z2|1；求|z1z2|.解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用“数形结合”的思想求解解析 方法一：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21(ac)2(bd)21由得 2ac2bd1|z1z2|(ac)2(bd)2.a2c2b2d22ac2bd3方法二：设 O 为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的复数分别为 A、B、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，|z1z2|OC|.|OA|2|AC|22|OA|AC|cos1203
