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1、高中数学疑难问题高中数学疑难问题高一下学期高一下学期 （数列基本题）（数列基本题）1 1、设等差数列、设等差数列 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，且，且 S S9 9=18=18，S Sn n=240=240，a an-n-na4 4=30=30（n n9 9，nNnN+ +） ，求，求 n n 的值。的值。 （必修（必修 5-5-等差数列等差数列A A 级题）级题）解：S9=9a5，a5=2,Sn=240，2)(1naan 2)(45naan 2)230(n16n=240，n=15。2 2、一个等差数列共一个等差数列共 n n 项，其和为项，其和为 9090，这个数列的前，这个
2、数列的前 1010 项和为项和为 2525，后后 1010 项和为项和为 7575，求项数，求项数 n n。 （必修（必修 5-5-等差数列等差数列B B 级题）级题）解：等差数列共 n 项，前 10 项的和为 25，a10=a1+9d，10=25，a1+a1+9d=5，a1=。2101aa d29 25等差数列共 n 项，后 10 项的和为 75，an+an-1+an-2+an-9=75，an-9=an-9d，an-8=an-8d，an+an-1+an-2+an-9=75，即 10an-（1+2+3+9）d=75，an=。d29 215等差数列共 n 项，其和为 90，=90，2)(1naa
3、n即=90，n=18。2)29 215 29 25(ddn3 3、设、设 a a1 1、d d 为实数，首项为为实数，首项为 a a1 1、公差为、公差为 d d 的等差数列的等差数列的前的前 n n 项项na和为和为 S Sn n，满足，满足 S S5 5S S6 6+15=0+15=0，求，求 d d 的取值范围。的取值范围。 （必修（必修 5-5-等差数列等差数列A A 级题）级题）解：由等差数列通项公式 Sn=可知 S5=，S6=2)(1naan 2)(551aa 。2)(651daa设 a1+a5=x，又S5S6+15=0，+15=0，即。25x 2)(6dx022dxxa1、d 为
4、实数，此关于 x 的方程必有实根，由 0，即 d2-80 得：d。),2222,(4 4、在等差数列、在等差数列中，中，a a2 2=5=5，a a6 6=21=21，记数列，记数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，na1na若若 S S2n+12n+1-S-Sn n对任意对任意 nNnN+ +都成立，求正整数都成立，求正整数 m m 的最小值。（必修的最小值。（必修15m5-5-等差数列等差数列B B 级题）级题）解：由题意可知=4n-3，设数列=S2n+1-Sn，且-=nanb1nbnb0，141 581 98111112232nnnaaannn是递减数列，（S2n+1-Sn）
5、max=S3-S1=+=，解得 mnb，故正整数 m 的最小值为 5。5 5、已知数列、已知数列中，中，a a1 1=3=3，前，前 n n 项和项和，求证数列，求证数列na1) 1)(1(21nnanS是等差数列。（必修是等差数列。（必修 5-5-等差数列等差数列B B 级题）级题）na解：由已知条件 Sn=可知：1) 1)(1(21nanSn-Sn-1=（+1）-1-（+1）-1，（n2）na21nna2n1naSn-1-Sn-2=（+1）-（+1），（n3）1na2n1na21n2na由可得=+-，na2) 1(nan 21n 21nna 2n-+=0 ，（n2）2) 1(nan 21n
6、na 21由可得：-+=0 ，（n3）2)2(1nan 2) 1(2nan 21由+可得：（+）=，即21nna2na1) 1(nan+=2。（n3）na2na1na由条件 Sn=（+1）-1 可得：S1=a1=（1+1）（a1+1）-1=3，21nna21S2=a1+a2=3+a2=（2+1）（a2+1）-1，a2=5。21S3=a1+a2+a3=3+5+a3=（3+1）（a3+1）-1，a3=7。21因为 a1+a3=10=2a2，所以得出当 1n3 时也为等差数列。na综上，是首项为 3，公差为 2 的等差数列。na6 6、设等差数列、设等差数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn
7、n，若，若 S Sm m=n=n，S Sn n=m=m（mnmn） ，求，求naS Sm+nm+n。 （必修（必修 5-5-等差数列等差数列B B 级题）级题）解：由题意可设 Sn=，qnpn 2则 Sn=m，Sm=n。qnpn 2qmpm 2-得：p（n2-m2）+q（n-m）=m-n，两边同时除以 n-m，得 p（m+n）+q=-1。Sm+n=p（m+n）2+q（m+n）=（m+n）p（m+n）+q=-（m+n） 。7 7、设等比数列、设等比数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若 S S3 3+S+S6 6=2S=2S9 9，求该数列的公比，求该数列的公比naq q。 （
8、必修（必修 5-5-等比数列等比数列A A 级题）级题）解：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1，且 a10，即得S3+S62S9，与题设矛盾，故 q1。又依题意 S3+S6=2S9，可得+=，qqa 1)1 (3 1 qqa 1)1 (6 1 qqa 1)1 (29 1整理得 q3（2q6-q3-1）=0。由 q0 得方程 2q6-q3-1=0，即（2q3+1） （q3-1）=0，q1，q3-10，2q3+1=0，q=。31218 8、在正项数列、在正项数列中，对任意中，对任意 nNnN均有等式均有等式 a a1 12 2+a+a2 22 2+a+an n2 2= =n
9、a成立，求成立，求 a a1 1+a+a2 2+a+an n的值。的值。 （必修（必修 5-5-等比数列等比数列A A 级题）级题）314 n解：=-=4n-1，2 na314 n3141n=2n-1，a1+a2+an=1+2+2n-1=2n-1。na9 9、设公比为、设公比为 q q（q q0 0）的等比数列）的等比数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若naS S2 2=3a=3a2 2+2+2，S S4 4=3a=3a4 4+2+2，求，求 q q。 （必修（必修 5-5-等比数列等比数列A A 级题）级题）解：S4-S2=a4+a3，a4+a3=3a4-3a2，a1q3
10、+a1q2=3a1q3-3a1q。又a10，q0，q2+q=3（q2-1） ，即 2q2-q-3=0。解得 q1=，q2=-1（舍去） ，q=。32 321010、已知数列、已知数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，且，且 S Sn n=2n=2n2 2。 为等比数列，且为等比数列，且nanba a1 1=b=b1 1，b b2 2（a a2 2-a-a1 1）=b=b1 1。（1 1）求数列）求数列、的通项公式；的通项公式；nanb（2 2）若）若= =, ,求数列求数列的前的前 n n 项和项和 T Tn n。 （必修（必修 5-5-等比数列等比数列B Bncnn banc级题
11、）级题）解：（1）=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2。nab1=a1=2，b2=，q=，=2（）n-1。121 aab 262 2112 bb 41nb41（2）=（2n-1）4n-1，nc141224 nnTn=1+34+542+（2n-1）4n-1，4Tn=4+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n，-得 3Tn=（2n-1）4n-24+42+4n-1-1，4+42+4n-1=，41)41 (41n344 nTn=（2n-1）4n-2-1344 n31=3（2n-1）-24n+（ -1）=。91 38 31954)56(nn1111、已知数列、已知数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，已知，已知naa a1 1=1=1，（nNnN+ +），求证：数列），求证：数列是等比数列。（必修是等比数列。（必修nnSnna21nSn5-5-等比数列等比数列A A 级题）级题）解：，将上式代入得，nnnSSa11nnSnna21nnSSSnnn21即，。nnSnnS221nS nSnn2 11又，是以 1 为首项，2 为公比的等比数列。0111SnSn
