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1、1原理题解第一章应力分析第一章应力分析方形截面(2cmx2cm)的直杆受轴向拉力 8 吨, (如图) ,图中 abc 为 3 个不同取向的单元 体,求出三个单元体上的应力,并画出单元体受力图。解:横截面上的应力MpkgPcmF2002000228000200与轴线成角的任意斜截面上的应力可分解为正应力和剪应力:nn2sin21020cosnn对于单元体 a: 0Mpkgcmn2002000200 对于单元体 b:450Mpkgcmn100100020002022045coscosMpkgcmn1001000sin2000212sin2120045对于单元体 c:60013002cmkgn202
2、1201500200060coscos cmkgn201018662sin2000212sin2160cmkgn20222021500200030coscos2cmkgn202028662sin2000212sin2130各单元体受力图如下:4 两端封闭的薄壁圆筒直径 D100mm,壁厚 t=5mm,受内压 P=100,求壁上如cmkg2图所示 a、b 单元体的应力状态。解:由于筒壁较薄可以认为应力沿厚度方向均匀分布,并且厚向应力远小于其它方向的应 力,故可忽略不计,作为平面应力问题处理,对于单元体 a: 切向应力: cmkgPtD2100010052100 2轴向应力:cmkgPtDz250
3、010054100 4对于单元体 b:设,根据平面应力状态下斜截面上的应力公式,有y cmkgxyyxyxn20750cos1000500211000500212sin2cos21 2190=(n212cos2sin)xyyx=)45(2sin)1000500(212/250cmkgm各单元体应力图如下:36 试述单向应力状态,平面应力状态,圆柱应力状态,球形应力状态的应力特征。这些特 征再三向应力圆上如何体现:(用应力圆作图说明之) 。 答:单向应力状态有两个主应力为零。 (如图 a)平面应力状态有一个主应力为零(如图 b)(图 b)圆柱应力状态有两个主应力相等(如图 C)4(图 C) (图
4、 d) 球形应力状态三个主应力都相等,三向应力圆聚合于一点, (如图 d)7.已知某点应力状kg/cm 11003008003000300800300500xy2求等倾面上的全应力 S,法向应力和剪力。nn解:等倾面的法线相对于各坐标轴的方向余弦彼此相等,即 l=m=n=31全应力分量:S=X0)800300500(31nmlzxyxX0)3000300(31nmlSzyyxyy0)1100300800(31nmlSzyzxzz全应力:0222zyxSSSS法向应力:0nSmSlSzyxn剪应力:022nnS可见,所研究的等倾面上没有应力。514: 101ij已知应力张量010 1012/cm
5、kg.,.;., 3, 2, 1321321 JJJJJJ以及应力偏量不变量主应力求应力不变量解:应力不变量:2111111113222 21)()()(ZXYZXYXZZYYXZYX JJ=-1+1=0XZXYX J3YZYYZZZYZX将应力不变量代入下式:20)2)(1(020123322 13求得主应力:JJJ2 132 322 21, 2132)()()(610)31; 1; 0JJmzmymXZYXm(应力偏量不变量:和平均应力:,2720)3111)(310)(312()()(312614)21() 110()02(61)()()(61321 3 2 1, 32222 132 3
6、22 21, 2mmmJJ故故 J(1. 2 .0) ;(2. 0 .-1) ;J(0. . ) ;73 27206求0;10:16zyxzxyzxy 已知:1J、;及、2J3J12388max解:01zyxJ222 2)(yzxzxyxzzyyxJ222101010=3002000100010000101010010101003J代入 0322 13即 0200030023解得:、2011021030)(31 3213m2 132 322 213)()()(31222)2010()10(10)10(200312101300313021023 23 31521020 231 max19.将应力
7、张量分解为应力为偏张量与应力球张量不321000000ij7变量之间的关系。“解:平均应力3/ )(321m应力张量mijijmmmmmmij321321000000000000000000=应力偏量+应力球张量。应力张量不变量mJ33211 故=m31J)(1332212J3213J应力球量不变量:1“ 13JJmmmm33)(2 12“ 2JJmmmmmmm27)3(3 1313“ 3JJJmmmm应力偏量不变量0)()()(321 1mmmJ)()()(133221 2mmmmmmJ32 133221m332 1 22 2JJJm)()()(321 3mmmJ22 32113322132
8、1)()(mmm32 123mmmJJJ8)27()9()3(3 12 1 11 23JJJJJJ)2792(271 3213 1JJJJ第二章第二章 应变分析应变分析 1.毛坯高 200mm,均匀压缩五次,每次压下量均为 20mm,求各次的条件应变及真实应变值, 以及总的条件应变和真实应变值。解:条件应变公式为00ll l真实应变公式为0lnl l故10 1 01802001 20010ll l 21 2 1160 1801 1809ll l 32 3 2140 1601 1608ll l 43 4 3120 1401 1407ll l 54 5 4100 1201 1206ll l 500
9、1002001 2002ll l 总而1 1 0180lnln0.1054200l l 2 2 1160lnln0.1178180l l 3 3 2140lnln0.1335160l l 94 4 3120lnln0.1541140l l 5 5 4100lnln0.1824120l l 55342104321053421432104lnlnlnlnlnlnlnllllll lllllllllll lllll 总5321()=-0.693 将上述两种应变值进行比较,可以看出,真实应变是可加的,而条件应变不可加。3 下述应变状态在连续介质中是否能够产生,有何条件?a) 、 、,其余应变分量为零。
10、 (、均)(22yxKxKxyyxykxyKk为常数)b) 、 、其余应变分量为零。 (、)(22yxKx)(22zyKyxyzkxyK为不大的常数)k解:a) 、 、kyyx2kyxy yKxxy、 、kyx222 022 xyyzk yxxy 2如果这个应变场存在的话,一定要满足变形场连续方程:+ -2yx 22 xy2202 yxxy也就是说:-2-20,即时,应变场是可能的。KkKkb) 、 kyyx20xyyzkxxy、 kyx222 zk yxxy 10根据应变连续方程 + -2yx 22 xy2202 yxxy必须保证 2+0-20 即KzkKzk但此处 z 为变量,股不能保证处
11、处都有-0,即协调条件不成立,股此应变场不可Kzk能存在。4.平板长 120mm 宽 36mm,厚 0.5 mm,若在长度方向拉伸至 144mm,而宽度不变,试求:a)对数应变,;xyzb)平板最终尺寸;c)等效应变。 解:a)182. 0120144lnln0llx因宽度不变,故0y由体积不变条件 +0 可知0.182xyzzxb)182. 0ln0ttz所以,1441200tt416. 01441205 . 01441200tt故最终尺寸为 144 36 0.416 C). 222 122331222 xyyzzx2222()()()3 2()()()3 2(0.1820)(00.182)
12、( 0.1820.182)0.213 5.上题中,若宽度方向允许自然收缩,其结果如何? 解:这种情况下变形性质为单向拉伸yzx1 2 11222 xyyzzxx2()()()3 0.182 0lnln36 ( 0.091)3.58 0.0913.48932.9ybbeeee 0lnln0.5 ( 0.091)0.694 0.0910.7850.456ztteeee 现已知, 故x0.182 yz10.1820.0912 最终尺寸为 144mm32.9mm0.456mm7.厚壁球壳内半径为 a,外半径为 b,在内压 P 作用下塑性变形,a)考虑到体积的不可压 缩,试证明:,(为径向位移) 。drdurruub)若已知变形后内半径 a 增大,试求任意一点的计算公式。和,r解:a)在球坐标下,一般状态的集合方程为:,rur)sin1(1vctguw r)(1uv r由球壳体集合形状和作用力(内压 P)的对称性,可以断定位移矢量场也是对称的,即无关,而 V=W0,且和与u