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1、广州六中广州六中 20122012 届高二下学期期末考试届高二下学期期末考试理数理数注意事项： 1本试题分为第卷和第卷两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2答第卷前务必将自己的班级、姓名、考号涂写在答题卡上。 3第卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需 改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。4. 第卷必须在答题卡按题号标记位置处作答。参考公式：线性回归直线：。bxay其中， 2121121)()(xnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii xbya第卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共
2、40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 ）1若复数,则（ ）2(1) ( ,)abiia bRabiA B C D2i2i22i22i2. 曲线在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )311yxA-9 B-3 C9 D153. 上海世博会期间，有 4 名同学参加志愿工作，将这 4 名同学分配到 3 个场馆工作，要求每个场馆 至少一人， 则不同的分配方案有（ ） A.36 B.30 C.24 D.424. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则 与 的值分别为 X),(pnBX3,2EDnp（ ） A、 B、 C、 D、32, 931, 932,1231,1
3、25. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四cba,ras(21rcb)面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体4321,ssssR积为（ ） 。A. B.RssssV)(21 4321RssssV)(314321C. D.RssssV)(41 4321RssssV)(43216. 已知，是的导数，若的展开式中的系数大于的展开式6( )(2)f xax( )fx( )f x( )fxx( )f x中的系数，则的取值范围是( )：xaA或 B C D或2 5a 0a 205a2 5a 5 2a 0a 7. 一个篮球运动员投篮一次得分的概率为
4、，得分的概率为，不得分的概率为（3a2bc） ，已知他投篮一次得分的期望为，则的最小值为（ ） , ,(0,1)a b c221 3abA B C D 32 328 31431638. 已知 R 上的连续函数 满足：当时，恒成立；对任意的都有)(xg0x0)(/xgRx。又函数 满足：对任意的，都有成立，当)()(xgxg)(xfRx)()3(xfxf时，。若关于的不等式对任意实数 x 恒成3, 0xxxxf3)(3x)2()(2aagxfg立，则的取值范围( )aA. B. C. D. 10 a10aa或11aRa第卷 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.
5、按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是 .C3H8C2H6CH4HHHHHHHHHHHHHHCCCCCHHHHC10. 已知且 为偶函数，则 11, 6a2dx)ba3xcosx(dx)ba5axx() t ( ft03 ab11. 已知 x、y 的取值如下表所示x0134 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与 x 线性相关，且，则0.95yxaa 12.已知，若向区域上( , )10,0,0x y xyxy ( , )5,0,0Ax y xyxy随机投 10 个点，记落入区域的点数为，则= AE13. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 a
6、axx4|3|1|xa选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （几何证明选讲选做题）如图，圆上一点在直径上OCAB的射影为，则 D2AD52ACAB15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为，cos2则曲线 C 上的点到直线为参数）的距离的最大值为 .ttytx(21 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统AB和在任意时刻发生故障的概率分别为和。AB1 10p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；49 5
7、0p（）设系统在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数A学期望。E17. (本小题满分 12 分) 已知数列中，na114,32 (2)nnaaan（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；1nanana（2）证明：111 2niia)( Nn18(本小题满分 14 分)第七届城市运动会 2011 年 10 月 16 日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运动会组委会在某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ， 身高在1
8、75cm 以下（不包括 175cm）定义为“ 非高个子 ” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（II）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。XXXCABDO19(本小题满分 14 分)设等差数列的首项，公差d2，前项和为，naaa 1nnS() 若成等比数列，求数列的通项公式；421,SSSna() 证明：,不构成等比数列 Nn21,nnnSSS20(本小题满分 14 分)已
9、知函数21( )3(1)ln2f xxxax，( )g xax，( )( )( )3h xf xg xx，其中aR且1a .（1）求函数( )f x的导函数( )fx的最小值；（2）当3a 时，求函数( )h x的单调区间及极值；（3）若对任意的1212,(0,), x xxx，函数( )h x满足1212()()1h xh x xx ，求实数a的取值范围.21. (本小题满分 14 分)设函数.221( )log (1)logxf xxxx(1)x （I）求函数的最小值；( )f x（）若，且，求证：；,m tR111mt22loglogtmmtmt（）若，且，1232,.,a a aaRn
10、 12321111.1aaaan求证：. 221222321232loglogloglog.aaaanaaaann参考答案参考答案1. B 2.C 3.A 4.B 5. B 6.A 7. D 8. B 9.C4H10 10. -6 11. 12. 13. 14.10 15.6 . 2a252)0 ,(U4 55 516（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1-P（C）=1-P= ，解得101 5049P=4 分 51（2）由题意，可取 0,1,2,3， ；P（=0）=，P（=1）=10001 10130 3）（C100027 101110121 3）（）（CP（=2）=，P（
11、=3）=12 分1000243 101110122 3）（）（C1000729 1011101303 3）（）（C所以，随机变量的概率分布列为：0123P10001 100027 1000243 100072910 分故随机变量 X 的数学期望为： E=0 1027 1000729310002432100027110001012 分.17.解：（1）231nnaa)2( n可化为， 即3 分) 1(311nnaa311nn aa是以 3 为首项，3 为公比的等比数列1na5 分1331n na13 n na（2） 6 分 nin ia12131 131 1311L9 分n31 31 312L1
12、2 分21)31(1 (21311)31(1 (31 nn18.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 2 分61 305所以选中的“高个子”有人， “非高个子”有人3 分2611236118用事件表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件表示AA“没有一名“高个子”被选中” ，则 5 分( )P A 12 52 3 CC 107 1031因此，至少有一人是“高个子”的概率是 6 分107（）依题意，的取值为根据茎叶图可知男的高个子有 8 人，女的有 4 人；8 分 X0,1, 2,3， ， 5514 CC)
13、0(3 123 8P5528 CCC) 1(3 122 81 4P5512 CCC)2(3 121 82 4P 12 分551 CC)3(3 123 4P因此，的分布列如下： 14 分15513551225528155140E0123p 5514 5528 5512 55119.()解：因为，3 分) 1( nnnaSnaS 1124, 2242aSaS由于若成等比数列；因此，即得 6 分 421,SSS412 2SSS12, 1naan()证明：采用反证法不失一般性，不妨设对某个,构成等比数列， Nm21,mmmSSS即7 分2 12mmmSSS因此有，化简得 ) 1)(2() 1()(1(2mammammam0) 1(22mmmaa9 分 要使数列的首项存在，上式中的0然而10 分naaa 1(2m)28m(m1)4m (2m)0，矛盾13 分所以，对,不构成等比数列14 分 Nn21,nnnS
