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1、U n s c e n t e d 卡尔曼滤波在非线性系统中的应用研究张炎华张卫明( 上海交通大学信息检测技术与仪器系上海0 2 0 0 3 0 )摘要广义卡尔曼滤波是非线性系统中常用的一种方法文中介绍了一种新的非线性算法，U n s c e n t e d卡尔曼滤波由于广义卡尔曼滤波的方法把非线性系统近似为线性系统，而U n s c e n t e d 卡尔曼滤波却不采用这种近似方法。所以U n s c e n t e d 卡尔曼滤波的穗度和稳定性都好于广义卡尔曼滤波对于舰船组合导航系统而言，采用U n s c a t e d 卡尔曼滤波同样可以取得较好的效果U n s c e n t e
2、d 卡尔曼滤波是对组合导航系统信号处理技术的一个新的补充荚t 词非线性广义卡尔曼滤波U n s c e n t e d 卡尔曼滤波组合导航1 引言我们实际工程中遇到的大多是非线性系统，描述系统的状态方程和量测方程都可能不是线性的，而是非线性的。在解决这些非线性系统问题时，以往最常用的方法是广义卡尔曼滤波( E K F ) 方法。它是由A n d e r s o n 和M o o v e 在1 9 7 9 年首创的，经过K a l m a n 滤波理论在非线性系统下的推广，采用非线性滤波的“线性化”方法，即对非线性的状态模型和量测模型运用泰勒展开式的近似，发展出广义卡尔曼滤波，拓宽了卡尔曼滤波理
3、论的应用范围。由于广义卡尔曼滤波方法中的存在着假设和近似，使其精度并不高，而且容易发散【l 】f 2 1 。在1 9 9 7 年，J u l i e r 和U h h n a n n 根据卡尔曼滤波的原理，从非线性均值和方差传播的角度，提出了一种新滤波器。U n s c e n t e dK a l m a nF i 酶盱( U l 旺) ，它是建立在直观的基础上，适用于非线性高斯分布。但 要是非线性非高斯分布，u 江的效果就不是很好。本文分别从广义卡尔曼滤波和U n s c e n t e d 卡尔曼滤波的原理开始加以介绍，并用E K F 和U K F 方法对非线性模型进行仿真，以验证其性能
4、2 广义卡尔曼滤波由于卡尔曼最初提出的滤波理论只适用于线性系统，并且要求量测也必须是线性的，而实际系统大多是非线性系统。对于系统非线性的状态方程和量测方程这类问题，就必须采取适当的线性化方法，把非线性方程转化为线性方程。最终使卡尔曼滤波方法可以应用在非线性系统。广义卡尔曼滤波基本过程如下啪：对一个非线性离散系统X k = f ( x k - ! k 1 ) + w ：I( 1 ) zk=h(xk，k)+Vi(2)其中：X 。为n 维状态向量；瓦是m 维量测向量：f 【) 是n 维向量函数，对其自变量而言是非线性的；h ( ) 是m 维向量函数，对其自变量而言也是非线性的；w i 为系统激励噪声
5、序列：E 【w ：】= o ，C o v W k ，W = E w ：町 = Q t 6 硒；为量测噪声序列；E 【v k 】= 0，C o v V k ，v j = E v k 、，于 = R 。6 k jC o v E W k ，V j = E w ：V 于 = 0tQ t 为系统噪声序列的方差阵；R k 为量测噪声序列的方差阵。离散型非线性广义卡尔曼滤波方程为：“一。= X 7 、k - I + X k kX kf f 文k ，t 。一。 - I - B ( t k 一，) p ( t k 一。) T( 3 )一l = f Ix k 1 ，k lIB ( t k I ) p ( t k
6、1 ) T( 3 -_，1X k = X k ，k I + 6 爻k6 文。= K k z k - h 阻，k )K 。= P k ，。一。H ： H 。P k ，。一。H ：+ R 。 。1P k ，t I2 k t k 一P k 一，T + Q HP k = ( I K 。H 。) P k ，。一。( I - K k H 。) 1 + K k R k K ：( 4 )( 5 )( 6 )( 7 )( 8 )其中：p ( t ) 是控制信号，B 为控制矩阵，T 为滤波周期。需要指出广义卡尔曼滤波器不是极小方差滤波器，因为在推导过程中做了许多一阶近似如果在有些实际问题中一阶近似精度不够时，可按
7、类似办法取二阶近似或更高价近似，但这样做会使计算量加大。3U n s c e n t e d 卡尔曼滤波由于广义卡尔曼滤波方法总是把随机变量近似看做高斯白噪声，而且一般E K F 在做线性化时，只使用了非线性函数泰勒展开式的第一项。这两释遗似，都在高斯随机变量的实际的后验均值和方差中引入误差。导致仿真结果为次优，有时还会引起发散。如果线性化时包含寨勒展开式的更多项，就会使计算复杂。从而限制了E K F 的广泛应用。U n s c e n t e d 卡尔曼滤波针对这些问题，使用确定性样本的方法n 1 。通过设计一组最小的，仔细挑选的采样点。这些采样点完全满足高斯随机变量实际的均值和协方差。当采
8、样点通过实际的非线性系统传递时，后验均值和协方差可以达到泰勒展开式的三阶精度。而E l 【F 只能达到一阶的精度。特别是U K F 和E K F 的计算复杂程度是相近的。U n s c e n t e d 卡尔曼滤波的基础是U n s c e n t e d 变换( 简称U T ) ，先加以介绍，其方法如下。3 1U n s c e n t e d 变换已知n 维随机变量x 的均值x 和方差R ，x 经过非线性变换Y # F ( X ) ，得到m 维随机变量Y 。Y 的均值Y 和方差P v 可以由下面过程导出【】：计算2 n + 1 个采样点及其权重系数X 。= 又( 9 ) x ；= 又+
9、( 而) ； X i = X 一( 而) ；i = 1 ，ni = n + l ，2 n其中：( 顶而) ；为矩阵均方根阵的第i 列，九霉o 【21 3 + k ) 一n ，是一个比例参数，点与均值的离散程度，通常取一个小的正值，如l e - 3 ，k 是比例参数，一般取0 通过非线性变换X = F ( X ；) ，( i = 1 ，2 n ) ，得到变换后的采样点 得到均值Y 、方差P Y 和协方差一2 n Y = W m Y i = OZ n一一一P Y = W i 。( Y i Y ) ( Y i Y ) 1 i 霉02( 1 0 )( 1 1 )毡决定采样( 1 2 )( 1 3 )其
10、中权重”为：P x Y = 茎w 。c ( x ；一x 一) ( Y 。一7 ) Tx Y = i 。( X i 一) ( Y i Y ) 1 。i I Ow 斧= 吖( n + 九)w = V ( n + 九) + ( 1 一伐2 + p )7 ：m = W i C = o 5 ( n + 九)i = l ，2 np 用来描述X 的前验分布信息，在高斯分布的情况下，p 的最优值为2 。卵，( i = 1 ，2 n ) 为一阶统计特性时的权重系数W i ，( i = l ，2 n ) 为二阶统计特性时的权重系数( 1 4 )O s )0 6 )( 1 7 )U n s c e n 俄l 变换只
11、取少数确定的点，而不是随机抽样，这和蒙特卡罗方法是不同的。而且它的加权 方法也和蒙特卡罗方法不同，它的权重系数不一定是正的，总和也不一定为l 。3 2U n s c e n t e d 卡尔曼滤波在卡尔曼滤波的时间更新过程中，将递推中的近似用成U n s c e n t e d 变换代替，其他部分保持不变。既可得到U K F 。具体步骤如下n ：对于非线性状态方程和量测方程：X k = f ( x k - I ) k 一1 ) + w ：一lz k = h ( X k ，k ) + 初始化 将过程噪声和量测噪声增广为状态向量。设增广后的向量维数为n增广状态向量X 。= x T w T V T
12、相应的采样点向量x 1 = ( x 。) T ( x w ) T ( x V ) T T又。= E f x 。】( 2 0 又：= E xI 盘 更：oo tP o = E 陋一式) ( 一又。) f 写= E c x ：一又：，t x ：一又：，T = 萼虽三C ；_ k l = X k 1w o ：k ( n “)C ；_ k l =一l=( n + k )3( 1 8 )( 1 9 )( 2 1 )( 2 2 )( 2 3 )( 2 4 ) a x a = X k 一1+ ( 瓜万丽x = 站一f共2 n + 1 个采样点。时间更新量测更新其中：4 仿真实验P k ，k 1 =暇一。一。
13、=x h 一，- f ( z ：胂k - 1 )一2 n X k k 一1 = Wx i ：k ，k l I I U2 ni = 1 ，n( 2 5 )i = n + 1 ，2 n( 2 6 )( x i 。，。一。文t ，t 一，) ( x i k l k - I - - 文。，t 一，) T + Q 。Z i k 肛，= h ( ) C i , k k - 1 k - 1 )2 nZk k 一12 W iZi - k k - li 暑0( z ；，。，。一，2 t ，t 一) ( zi , k k - I - - 2 t ，t ，) T + R 。( z i , k k - I - - 一
14、- ) ( zi , k l k - I 一2 叭一- ) TX k = 6 一+ G kZXX k klZ k Z k k 1 )一+ G kk 一一lP k = 耽一。一G 。P ；孑l 【一，G ：G 。= P 觑一。( P 流一，) 一( 2 7 )( 2 8 )( 2 9 )( 3 0 )( 3 1 )( 3 2 )( 3 3 )( 3 4 )( 3 5 )( 3 6 )为了验证广义卡尔曼滤波和U n s c e n t e d 卡尔曼滤波状态估计的精度和稳定性方面的优劣，可以采用如下模型，根据上述原理，对非线性系统的状态进行估计哺1 。X k = o 5 X k l + 2 5 X
15、 k l ( 1 + x ：一1 ) + 8 c o s ( 1 2 ( k 1 ) ) + W k( 3 7 )Z k = x ：2 0 + v k( 3 8 )其中，w i 为系统过程噪声序列，为零均值高斯白噪声，方差为1 0 o ；v k 为系统量测噪声序列；为零均值高斯白噪声，方差为1 0 ；初始状态估计X A o ：0 1 。表1 经过实验后得酞F 和U I ( F 的状态估计均方根算法误差均值昀均方根估计时闯E x t e n d e d K a l m a nF i l t e r ( E K F )2 3 2 4 90 0 4 3 2U n s c e n t e dK a l
16、 m a nF i I t e r ( U K F )8 3 哇3 80 1 5 7 94、J(猢墩+H小h抽Q八V，lI 司=wW眦 ：置W h 瑚=Wh ：置图1 系统状态和量铡图2E 盱与U 瓯方法的状态估计比较图1 为非线性系统的状态和量测，经过仿真实验可以从图2 和表l 可以看出，对非线性、高斯白噪声系统的状态估计，U n s c e n t e d 卡尔曼滤波方法的估计精度高于广义卡尔曼滤波方法。5 结论本文分别用U n s c e n t e d 卡尔曼滤波和广义卡尔曼滤波方法对非线性、高斯自噪声离散系统进行状态估计，结果显示U l ( F 的收敛速度和数值稳定性优于E K F ；而且方差估计也优于E K F 。只
