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1、第一章第一章 数列通项公式的求法数列通项公式的求法1.1、定义法与公式法 一，定义法一，定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数 列类型的题目例例 1 1等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求 nanS931,aaa2 55aS 数列的通项公式. na解：设数列公差为 na)0(dd成等比数列，即931,aaa912 3aaa )8()2(112 1daadadad12， 0dda 1 2 55aS 2 11)4(2455dada由得：， 】531a53dnnan53 53) 1(53注意：注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法
2、求出首项与公差（公比）后再写 出通项。练习练习 1 已知：等差数列an中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差 d 0.求数列an的通项公式 an 2 在等比数列an中，求数列an的通项公式 an 30aa,27aaa42321二、公式法若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式nSna nana求解。 2111 nSSnSannn例例 2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。 nannS1,) 1(2naSn nn na解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211n nnnnnaaSSa1 122 ( 1),n nnaa ,) 1(222 21 n n
3、naa，. 2212 aa11221 122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnn naa L.) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(2121 1211 nnn nnnnnnL经验证也满足上式，所以11a) 1(23212nn na注意：注意：利用公式求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能 211nSSnSannn n合写时一定要合并练习：练习：1.设数列 na的前n项的和14122333n nnSa，.3 , 2 , 1n 求首项1a与通项na。2 已知正数数列的前 n 项和为，且对于任意的，有 annSNnnn 2 n2S（1）求证为等差数列；（2）求的
4、通项公式；anan12、由递推式求数列通项法、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或 等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型类型 1 递推公式为)(1nfaann解法：把原递推公式转化为，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。)(1nfaann例例 3. 已知数列满足，求。 na211annaann211na解：由条件知：111 ) 1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n)()()()(1342312 nnaaaaaaaa)1 11(
5、)41 31()31 21()211 (nn 所以 ， naan111211aQnnan1 231121练习： 1类型类型 2 （1）递推公式为）递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。)(1nfaann(2004 全国卷 I.15)已知数列an，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项1 _na 1 2n n 例例 4. 已知数列满足，求。 na321annanna11na解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘11 nn aann) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n之，即13
6、42312 nn aa aa aa aa nn 1 43 32 21 naan11又， 321aQnan32（2） 由和确定的递推数列的通项可如下求得：nnanfa)(11a na所以， ，依次向前代入，得1) 1(nnanfa21)2(nnanfa12) 1 ( afa ，1) 1 ()2() 1(afnfnfan 简记为简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。，这就是叠（迭）代法的基本模式。111)(akfankn) 1)(, 1(01 kfn k（3）递推式： nfpaann1解法：只需构造数列解法：只需构造数列，消去，消去带来的差异带来的差异 nb nf例例 5设数列：，求. na)2
7、( , 123, 411nnaaannna解：设，将代入递推式，得BAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn 13323ABBAA 11 BA（）则,又，故1nabnn取13nnbb61b代入（）得nn nb32361132nan n说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由)(nfnCBnAnabnn2,（）两式相减得1231naann1) 1(2321naann3n转化为求之.2)(3211nnnnaaaaqpbbnn1例例 6已知， ，求。31annanna23131) 1( nna解：12313 223
8、123 2)2(31)2(3 2) 1(31) 1(3ann nnan 34 375 26331 348 531nn nnn L 。 类型 3 递推公式为（其中 p，q 均为常数，qpaann1） 。)0) 1(ppq解法：转化为：，其中，再利用换元法换元法转化为等比数列求解。)(1taptannpqt1(2006.重庆.14）数列中，若，则通项 na111,23(1)nnaaanna例例 7. 已知数列中，求. na11a321nnaana解：设递推公式可以转化为即.321nnaa)(21tatann321ttaann故递推公式为,令，则,且)3(231nnaa3nnab4311 ab.所以
9、是以为首项，2 为公比的等比数列，则23311nnnn aa bb nb41b, 所以.11224nn nb321n na类型类型 4 递推公式为递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，n nnqpaa1） 。 （或（或,其中其中 p，q, r 均为常数）均为常数）)0) 1)(1(qppq1n nnaparq（2006 全国 I.22） （本小题满分 12 分）设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n g g g（）求首项与通项； 1ana解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：1nqqqa qp qann nn11
10、1引入辅助数列引入辅助数列（其中） ，得：再应用类型 3 的方法解决。 nbnn nqab qbqpbnn11例例 8. 已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana解：在两边乘以得：1 1)21(31 n nnaa12n1)2(32211 nn nnaa令，则,应用例 7 解法得：nn nab 21321nnbbn nb)32(23所以nn nn nba)31(2)21(32类型类型 5 递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足，再应用前面类型 3 的方法求解。 qstp
11、ts（2006.福建.理.22） （本小题满分 14 分）已知数列满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列的通项公式； na例例 9. 已知数列中，,，求。 na11a22annnaaa31 3212na解：由可转化为nnnaaa31 3212)(112nnnnsaatsaa即或nnnstaatsa12)( 3132stts 311ts131ts这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试） ，则 311ts131ts是以首项为，公比为的等比数)(31112nnnnaaaannaa1112aa31列,所以,应用类型 1 的方法，分别令，代入上式1 1)31( n nnaa) 1
12、( , 3 , 2 , 1 nn得个等式累加之，即) 1( n210 1)31()31()31( n naa311)31(11 n又，所以。11aQ1)31(43 47n na类型类型 6 递推公式为与的关系式。(或)nSna()nnSf a解法：利用进行求解。 )2() 1(11 nSSnSannn(2006.陕西.20)头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 例例 10.数列前 n 项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式 na2214nnnaS1nana.na解：（1）由得：，于是2214nnnaS1
