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1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例 1：判断命题是否正确若，且序列的极限存在，()nnxy nN,nnxylim,lim,nnnnxAyBAB 则解答：不正确在题设下只能保证，不能保证例如：，ABAB11,1nnxynn，而,nnxynlimlim0nnnnxy 例 2选择题设，且（ ）nnnxzylim()0,limnnnnnyxz 则A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零C不一定存在 D. 一定不存在答：选项 C 正确分析：若，由夹逼定理可得，故不选 A 与 D. limlim0nnnnxya lim0nnza 取，则，且，但 11( 1),( 1),( 1
2、)nnn nnnxyznn nnnxzylim()0nnnyx limnnz 不存在，所以 B 选项不正确，因此选 C例 3设（ ）,nnxay且 lim()0,nnnnnyxxy 则与A都收敛于 B. 都收敛，但不一定收敛于aaC可能收敛，也可能发散 D. 都发散答：选项 A 正确分析：由于，得，又由及夹逼定理得,nnxay0nnnaxyxlim()0nnnyx lim()0nnax 因此，再利用得所以选项 Alimnnxa lim()0nnnyx limnnya 二、无界与无穷大无界：设函数的定义域为，如果存在正数，使得( )f xDM( )f xMxXD 则称函数在上有界，如果这样的不存
3、在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任( )f xXM( )f xX何正数，总存在，使，那么函数在上无界M1xX1()f xM( )f xX无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义） 如果对于任意( )f x0xx给定的正数（不论它多么大） ，总存在正数（或正数） ，只要适合不等式（或MXx00xx） ，对应的函数值总满足不等式xX( )f x( )f xM则称函数为当（或）时的无穷大( )f x0xxx 例 4：下列叙述正确的是： 如果在某邻域内无界，则( )f x0x0lim( ) xxf x 如果，则在某邻域内无界0lim( ) xxf x ( )f x0x解析：
4、举反例说明设，令，当时，11( )sinf xxx11, 22nnxynn n ，而0,0nnxylim()lim (2)2nnnf xn lim()0nnf y 故在邻域无界，但时不是无穷大量，则不正确( )f x0x 0x ( )f x由定义，无穷大必无界，故正确结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大三、函数极限不存在极限是无穷大当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为0xxx ( )f x了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大” 但极限不存在并不代表其极限是无穷大例 5：函数，当时的极限不存在10 ( )00 10xx f xx xx 0x ( )f
5、 x四、如果不能退出0lim( )0 xxf x 01lim( )xxf x 例 6：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没( )0xxf xx 为有理数 为无理数0lim( )0 xxf x 1 ( )f x0x 有定义，故无法讨论在的极限1 ( )f x0x 结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，0lim( )0 xxf x ( )f x0x( )0f x 则反之，为无穷大，则为无穷小。01lim( )xxf x ( )f x1 ( )f x五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。例 7求极限10lim,limxxxxe
6、e 解：，因而时极限不存在。lim, lim0xxxxee x xe，因而时极限不存在。1100lim0, limxxxxee 0x 1 xe六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例 8：求极限20112lim xxx x分析一：若将写成，再用等价无穷小替换就会导致112xx( 11)( 11)xx错误。分析二：用泰勒公式22222211()12211(1()22! 11()122(1()222! 1()4
7、xxxxxxxxxx 原式。2221()14 4xxx 例 9：求极限sinlim xx x解：本题切忌将用等价代换，导致结果为 1。sin xx sinsinlim0 xx x 七、函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间断。而( )f x0xx( )g x0xx( )( )f xg x0xx在可能连续。2( )( ),( ),( )f xg xfxf x0xx例 10设，则在间断，在连续，00( )10xf xx( )sing xx( )f x0x ( )g x0x 在连续。( )( )( ) sin0f xg xf xx0x 若设，在间断，但在均连续。10( )10xf xx( )
8、f x0x 2( )( )1fxf x0x （2） “在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。( )f x0x( )f x0x分析：由“若，则”可得“如果，则0lim( ) xxf xa 0lim( ) xxf xa 00lim( )() xxf xf x ” ，因此，在点连续，则在点连续。再由例 10 可得，在00lim( )() xxf xf x ( )f x0x( )f x0x( )f x点连续并不能推出在点连续。0x( )f x0x（3）在连续，在连续，则在连续。其余结论均( )x0xx( )f u00()uux( ( )fx0xx不一定成立。第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性
9、的关系可导必连续，连续不一定可导。例 11在连读，在处不可导。( )f xx0x 0x 二、与可导性的关系( )f x( )f x（1）设，在连续，则在可导是在可导的充要0()0f x( )f x0xx( )f x0xx( )f x0xx条件。（2）设，则是在可导的充要条件。0()0f x0()0fx( )f x0xx三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设，在连续，但不可导，又存在，则是在( )( ) ( )F xg xx( )xxa( )g a( )0g a ( )F x可导的充要条件。xa分析：若，由定义( )0g a ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
10、limlimlim( )( ) ( ) xaxaxaF xF ag xxg aag xg aF axg aaxaxaxa 反之，若存在，则必有。用反证法，假设，则由商的求导法则知( )F a( )0g a ( )0g a 在可导，与假设矛盾。( )( )( )F xxg xxa利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设在处存在左、右导数，若相等则在处可导；若不等，则在( )f x0xx( )f x0xx( )f x连续。0xx（2）如果在内连续，且设则在( )f x( , )a b0( , )xa b00lim( )lim( ), xx
11、xxfxfxm ( )f x处必可导且。0xx0()fxm若没有如果在内连续的条件，即设，则得不到任何结论。( )f x( , )a b00lim( )lim( ) xxxxfxfxa 例 11，显然设，但，20( )0xxf xxx00lim( )lim( )1 xxfxfx 0lim( )2 xf x ，因此极限不存在，从而在处不连续不可导。 0lim( )0 xf x 0lim( ) xf x ( )f x0x 第三章 微分中值定理与导数的应用一、若lim( ),(0,lim( ) xxfxA Af x 可以取）, 则若，不妨设，则，再由微分中值定理lim( )0 xfxA 0A0,(
12、)2AXxXfx时，( )()( )()(,(, )f xf XfxXxXX x( )()()()lim( )2xAf xf XxXxXf x 同理，当时，0Alim( ) xf x 若，再由微分中值定理 lim( ),0,( )1 xfxXxXfx 时，( )()( )()(,(, )f xf XfxXxXX x( )()()()lim( ) xf xf XxXxXf x 同理可证时，必有lim( ) xfx lim( ) xf x 第八章 多元函数微分法及其应用8.18.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1. ,使得当,且时,有0 f12,0 f01xxp02yyp0,0( , )(
13、)x yx y,那么成立了吗?( , )f x yAp0 0lim( , ) xx yyf x yA 成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采( , )p x y000(,)p xy用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中的条件略去,函数就在连续吗?为什么?0,0( , )()x yx y( , )f x y0,0()x y如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由0,0( , )()x yx y0,0()f x y00(,)xy此对,都有,从而,因此我们得到0 f( , )f x yAp0,0()Af
14、 x y0 0lim( , ) xx yyf x yA ,即函数在点连续.0,0()f x y0,0()x y3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么?不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.28.2 偏导数偏导数1. 已知,求2(,)yf xy ex y( , )f x y令,那么解出,得,xyuyevxylnlnyvxuv 所以22( , )( , ). ( , )(ln ) .lnf u vx u v y u vuvv或者2( , )(ln ) .lnf u vuvy8.38.3 全微分极其应用全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数, 连续Z 可微 连续 极限存在xf yf ( , )Zf x y( , )f x y偏导数, 连续偏导数, 存在xf yf xf yf 2. 判断二元函数在原点处是否可微.( , )f x y 0,02230,0( , )()0(
