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1、直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率(3.1.1)教学目标教学目标:知识与技能知识与技能(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 (2) 理解直线的倾斜角的唯一性理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 情感态度与价值观情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示， 培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评
2、培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评 价能力价能力 (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形 结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神学态度和求简的数学精神 重点与难点重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论教学方法：启发、引导、讨论. . 教学过程：教学过程： （一）（一） 直线的倾斜角的概念
3、直线的倾斜角的概念 我们知道我们知道, 经过两点有且只有经过两点有且只有(确定确定)一条直线一条直线. 那么那么, 经过一点经过一点 P 的直线的直线 l 的位置能确定吗的位置能确定吗? 如图如图, 过一点过一点 P 可以作无数多条直线可以作无数多条直线 a,b,c, 易见易见, ,答案答案 是否定的是否定的. .这些直线有什么联系呢这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点它们都经过点 P. (2)它们的它们的倾斜程度倾斜程度不同不同. 怎样描述这种怎样描述这种倾斜程倾斜程 度度的不同的不同? ? 引入直线的倾斜角的概念引入直线的倾斜角的概念: 当直线当直线 l 与与 x 轴相交时轴相交时,
4、取取 x 轴作为基准轴作为基准, x 轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向之向上方向之 间所成的角间所成的角 叫做直线叫做直线 l 的倾斜角的倾斜角. .特别地特别地, ,当直线当直线 l 与与 x 轴平行或重合时轴平行或重合时, 规定规定 = 0. 问问: 倾斜角倾斜角 的取值范围是什么的取值范围是什么? ? 018180. 当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时轴垂直时, = 9 90. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜引入直线的倾斜 角之后角之后, 我们就可以用倾斜角我们就可以用倾斜角 来表示平面直角坐
5、标系内的每一条直线的来表示平面直角坐标系内的每一条直线的 倾斜程度倾斜程度. 如图如图, 直线直线 abc, 那么它们那么它们 的倾斜角的倾斜角 相等吗相等吗? ? 答案是肯定的答案是肯定的. .所以一个倾斜角所以一个倾斜角 不能确定一条直线不能确定一条直线. .确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: : 一个点一个点 P P 和一个倾斜和一个倾斜 角角 . ( (二二) )直线的斜率直线的斜率: : 一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角 (9(90)的正切值叫做这条直线的斜率的正切值叫做这条直线的斜率, ,斜率常用小斜率常用小写字母写字母 k
6、k 表示表示, ,也就是也就是k k = = tantan当直线当直线 l 与与 x 轴平行或重合时轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时轴垂直时, = 9 90, k 不存在不存在. 由此可知由此可知, 一条直线一条直线 l l 的倾斜角的倾斜角 一定存在一定存在, ,但是斜率但是斜率 k k 不一定存在不一定存在. . 例如例如, , =45时时, k = tan45= 1; =135时时, k = tan135= tan(180 45) = - tan45= - 1.学习了斜率之后学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度我们又
7、可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三三) 直线的斜率公式直线的斜率公式: : 给定两点给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线如何用两点的坐标来表示直线 P1P2P1P2 的斜率的斜率? ? 可用计算机作动画演示可用计算机作动画演示: 直线直线 P1P2 的四种情况的四种情况, 并引导学生如何作辅助线并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导共同完成斜率公式的推导.(.(略略) ) 斜率公式斜率公式: : 对于上面的斜率公式要注意下面四点：对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当当 x1
8、=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 = 90, 直线与直线与 x 轴垂直；轴垂直； (2)k 与与 P1、P2 的顺序无关的顺序无关, 即即 y1,y2 和和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同在公式中的前后次序可以同 时交换时交换, 但分子与分母不能交换但分子与分母不能交换; (3)斜率斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当当 y1=y2 时时, 斜率斜率 k = 0, 直线的倾斜角直线的倾斜角 =0，直线与，直线与 x 轴平行或重轴平行或重 合合.(5)
9、求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到(四四)例题例题: 例例 1 已知已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线求直线 AB, BC, CA 的斜率的斜率, 并判断它并判断它 们的倾斜角是钝角还是锐角们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线用计算机作直线, 图略图略) 分析分析: 已知两点坐标已知两点坐标, 而且而且 x1x2, 由斜率公式代入即可求得由斜率公式代入即可求得 k k 的值的值; ;而当而当 k = tan00 时时, , 倾斜角倾斜角 是锐角是锐角;而当而当 k = tan=0=0 时
10、时, , 倾斜角倾斜角 是是 0. 略解略解: 直线直线 AB 的斜率的斜率 k1=1/70,k1=1/70, 所以它的倾斜角所以它的倾斜角 是锐角是锐角;直线直线 BC 的斜率的斜率 k2=-0.50,k3=10, 所以它的倾斜角所以它的倾斜角 是锐角是锐角. 例例 2 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 画出经过原点且斜率分别为画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及及-3 的直的直 线线 a, b, c, l. 分析分析:要画出经过原点的直线要画出经过原点的直线 a, 只要再找出只要再找出 a 上的另外一点上的另外一点 M. 而而 M 的坐的坐 标可以根据直线标可以根据直
11、线 a 的斜率确定的斜率确定; ; 或者或者 k=tan=1k=tan=1 是特殊值是特殊值, ,所以也可以以原所以也可以以原 点为角的顶点点为角的顶点,x,x 轴的正半轴为角的一边轴的正半轴为角的一边, , 在在 x x 轴的上方作轴的上方作 45的角的角, 再把再把 所作的这一边反向延长成直线即可所作的这一边反向延长成直线即可.略解略解: 设直线设直线 a 上的另外一点上的另外一点 M 的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),根据斜率公式有根据斜率公式有1=(y0)(x0)所以所以 x = y可令可令 x = 1, 则则 y = 1, 于是点于是点 M 的坐标为的坐标为(1,1).(1,1).此时过原点和点此时过原点和点M(1,1), 可作直线可作直线 a.同理同理, 可作直线可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程用计算机作动画演示画直线过程)(五五)练习练习: P91 1. 2. 3. 4.(六六)小结小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念直线的倾斜角和斜率的概念(2) 直线的斜率公式直线的斜率公式.(七七)课后作业课后作业: P94 习题习题 3.1 1. 3.(八八)板书设计板书设计:
