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1、第第七七章章 非非正弦正弦周周期期电电流流电电路路的的分分析析基基本本要要求求：1 1能将将非非 正弦正弦周周期期函函数数展展开开为为付付立立叶叶级级数数，并作出其 频频谱谱图图 ；2 2能分分析析计计算算非非 正弦正弦周周期期电电路路 中的电压，电流；3 3能计算非 正弦周期电压，电流的有有效效值值 及计算非 正弦周期电路中的 平平均均功功率率 ；7 7- -1 1 周周期期函函数数的的付付立立叶叶级级数数展展开开式式 讲述要点：讲述要点： 1. 付立叶系数的计算；2 2周期函数的几种对称性一一、付付立立叶叶级级数数周周期期函函数数 : 设 T 为周期函数f(t)的周期，即f(t)= f(t
2、+kT)，k=0，1，2，3 如果 f(t) 满足狄里赫利条件，即（1 1）在一个周期内，如极大值和极小值的数目为有限个；（2 2）在一个周期内，如只有有限个不连续点;（3 3）在一个周期内， f(t)绝对值的积分为有限值，即则 f(t)可展开为一无穷级数。tdtfT0)(1 1、付付立立叶叶级级数数的的第第一一形形式式LLLL tni sbtni sbtcosatcosaa) t (f121112110222) tnni sbtncosa(annn 1110 2n 为正整数；， ， 称为付立叶系数20ananb2 2、付付立立叶叶系系数数 ， ，的的计计算算式式：20ananb求求 ：对和式
3、两端在一个周期内积分20aL ToTToTotdtcosatdtcosadtadt) t (f12011022LToTotdtbtdtb12112sinsin20a 是 f(t)在 T 内的平均值，称为直流分量 Ttd) t (fTa001 220a求求 an： 用 cos nt 乘和式两端17-1-2 奇函数的波形示例图 7-1-3 偶函数的波形示例tntbtntbtnatntatntatnatntfnn111111211211110 1cossincossincoscos2coscoscoscos2cos)(LL两端在一周期内积分得：TTTnbnTatdtnatdtnatdtntf0001
4、12 12)2cos1(21coscos)( T ntd) tncos() t (fTa012积分出来之后，令 n=1.2.3.便可求得 a1. a2 求求 bn : 同理用 sinnt 乘和式两端，并就两端在一周期内积分，可得：1 T ntd) tnsin() t (fTb0123、付付立立叶叶展展开开式式的的第第二二种种形形式式将和式中的同频率的正弦项和余弦出合并为一个同频率的正弦波（可用相量法） 1102nnmn)tn(sinAA)t(f此式中 ； ； 22 nnnmbaA nn nbagt1 2200aA二二、周周期期函函数数的的几几种种对对称称性性1 1、奇奇函函数数 ： f(t)
5、= -f(-t)特特点点 ：（1 1）图形对称于原点；（2 2）上下平移会破坏对称性，所以平均值必为零；（3 3）左右平移可破坏对称性。结论：不含cos 项； = 0 ； =0 ；仅含 sin 项； 0na20anb2 2、偶偶函函数数： f(t) = f(-t)特特点点：（ 1 1）图形对于纵轴对称 （2 2）上下平移仍为偶函数，可有非零平均值( (3 3) )左右平移可破坏纵轴对称性结论：不含sin 项 ； =0 ； 0 nbna；可不为零 .20a3 3、奇奇谐谐波波函函数数 ： f(t) = -f(t+)2T(a) (b)图 714 奇谐波函数的波形示例波波形形对对称称性性 ：后半周反
6、号重复前半周，或后半周左移半周与前半周成镜像。称为奇半波对称性。f(t)称为奇谐波函数。特特点点 ：（ 1）左右平移不影响对称性；上下平移一定破坏对称性。（2）只含有奇谐波函数；不含偶次谐波和直流分量结结论论 ：=0 ，an和 bn中 n 只取奇数。20a本本节节小小结结 ：1 1、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。2 2、适当选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。3 3、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少 付立叶 级数 展开的 工作量。7 7- -2 2 线线性性电电路路对对周周期期性性激激励励的的稳稳
7、态态响响应应 讲述要点：讲述要点：1. 直流分量作用时的等效电路； 2 2. .正弦谐波激励作用时的相量电路，不同谐波的阻抗与导纳；3. 叠加。在电工程中常见的周期性激励信号一般都满足狄里赫利条件，都可展开为付氏级数。由于付氏级数的收敛性，根据工程计算所允许的误差范围，一般只取前若干项来计算。 （对周期电压信号可认为是若干谐波电压源相串联，对周期电流信号可认为是若干谐波电流源相并联）直流分量作用时按直流电路计算；各正弦谐波激励作用时可分别利用相量法计算电路的响应相量；返回时域再迭加，就得到电路对周期信号激励的稳态响应。但不能相量相加。例例 7 7 2 2 2 2 在图 723 所示电路中，已知
8、 = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2=0.0133H，C1=95.6F，C2=159F ，求 i1(t)及 i2(t)。V ) 3sin210 sin22010()(tttus解：解： 直流分量电压单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路0A 1A 1010201010IRUIs 基波分量电压单独作用时，L1与 C1并联的等效导纳为图 7230S )103103(12211jLjCj相当于开路，因此A 1e=A 2010102201j4502211s 2111ooA 2A10210 230013s 13mjjm mIee RUI&oo三次谐
9、波分量电压单独作用时响应的时域解为A 0)(A 3sin2)(2313 titti 将响应的直流分量和各次谐波分量单独作用时的正弦稳态响应叠加起来，即为电路的稳态解A )45 sin(1)()()(A sin2)45 sin(1 )()()(23212021311101oottitiItitttitiIti7 7- -3 3 非非正正弦弦周周期期波波的的有有效效值值平平均均功功率率 讲述要点：讲述要点：1. 非正弦周期波的有效值的计算2 2. . 非正弦周期 电路平均功率的计算一一、有有效效值值 任意周期电流电压均为（1） TtdiTI021如 i(t)可展为付氏级数(2) 110 nnm)t
10、n(ni sII) t ( i将(2)代入（ 1） ，即将 f(t)代入方均根值中，计算多项式的平方的平均值，由于三角函数的正交性，可知各交叉项乘积的2 倍在一周期内的积分值应为零，平均值也为零。只有各平方项的平均值不为零 T)I(td)I(T02 02 01td)tn(nisITnT mn 10221td)tncos(ITT mn10221211 221 0212 22mn mnmnITITTtIT 12 2 02nmnIII 122 0 nIII由此可见，非正弦周期电流的有效值等于它的直流分量及各谐波分量有效值的平方之和的平方根。注注意意： 对于单一正弦波，有，但对整个周期波则不存在这种关
11、nmnII2系当 f(t)为电压时，则 122 0 nnUUU例例： 已知周期电流i=1+0.707sin(t-200)+0.42sin(2t+500)A，试求其有效值解解：AI16. . 13.05.01)42.0(21)707.0(21122222二二、平平均均值值与与均均绝绝值值1 1平平均均值值： 周期量在一周期内的平均值就是直流分量如前 Ttd) t (fTa001 22 2均均绝绝值值： 电工技术中经常遇到上下半周期对称的波，如正、余弦波，奇谐波等，这些波在横轴上下的面积相等，其平均值为零。在电工实践中，还用到均绝值的概念，其数学式为TT avtdtfTtdtfTF00)(2)(1
12、取绝对值是将负值部分反号，即“全波整流” 。所以，所谓均绝值，就是“全波整流”后的平均值。例例如如 ，计算正弦电压的平均值，并求正弦电压的有效值与平均值之比解解： 设 U(t)=Umsint平均值为 mTmTmavUtTUtdtni sUTU2cos)1(22022 0=0.64Um有效值为 U= =0.71Um2mU有效值与平均值之比 11. 12222mmvaUU UU或 VaU=0.9U三三、平平均均功功率率1 1、设二端网络的周期电压、电流为)tn(nisVV)t(Un nmn 1 10)tn(nisII)t(in nmn 1 10当其参考方向一致时，则其吸收的瞬时功率为p(t)=U(
13、t)i(t)平均功率为 TTtd) t ( i ) t (UT) t (pTP0011td)tn(nisII)tn(nisVVTnnmnTnnmn 11001101计算多项式的乘积,可有几种类型的项；（1 1）直流电压与直流电流的乘积；（2 2）直流电压与电流多次谐波的乘积；（3 3）直流电压与电压多次谐波的乘积；（4 4）各同次谐波电压电流的乘积；（5 5）不同次谐波电压与与电流的乘积。将以上各类积分：（2） （3） （5）类的值为零。将（1） （4）两类求平均值为 td)tn(nisI)tn(nisVTIVPTnnmnnmn 0111001积化和差 td)(costncosIVTIVTnnnnnmnmn 01100211n=1,2,3 10021nnnmnmn)(cosIVIV 100 nnnnn)(cosIVIV 10 nnPP2 2、当二端网络为电阻性时（包括谐振状态）其平均功率可直接用下式计算P=I2R=U2/R R 为输入电阻注注意意： P ，因为 RIm2 21 mII 2例例： 已知某二端网络的电压电流分别为U(t)=10+141.4cos1t+70.7cos(31t+300)Vi(t)=2+18.55cos(1t-21.80+12cos(21t+50)22+6.4sin(31t+69.810) A2当 u(t)与 i(t)取关联参考方向时，
