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1、一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由 六个全等的正方形组成的，见图 61。图 6l 只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略） 。2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六 个两两彼此全等的长方形组成的，见图 62。图 62 只是长方体平面展开图的一种画法， 还有别的画法（从略） 。3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得 到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底 面圆的周长，宽是圆柱体的高。
2、这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图 63 就是圆柱的平 面展开图。4.（直）圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开 图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图 64。二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2（ab+bc+ca） 长方体的体积=abc（这里 a、b、c 分别表示长方体的长、宽、高） 。 2.正方体 正方体的表面积=6a2 正方体的体积=a3（这里 a 为正方体的棱长） 。 3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2Rh 圆柱体的全面积=
3、2Rh+2R2=2R（h+R） 圆柱体的体积=R2h（这里 R 表示圆柱体底面圆的半径，h 表示圆柱的高） 。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=Rl 圆锥体的全面积=Rl+R2母线长与高） 。 三、例题 例 1 图 65 中的几何体是一个正方体，图 66 是这个正方体的一个平面展开图，图 6 7（a） 、 （b） 、 （c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没 画出来，请你给补上。例 2 图 69 中的几何体是一个长方体，四边形 APQC 是长方体的一个截面（即过长方体上 四点 A、P、Q、C 的平面与长方体相交所得到的图形） ，P、Q 分别为棱 A1B1、B1C1 的中
4、点，请在此长方体的平面展图上，标出线段 AC、CQ、QP、PA 来。例 3 在图 611 中，M、N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从 M 点 绕圆柱体的侧面到达 N，沿怎么样的路线路程最短？例 4 图 614 中的几何体是一棱长为 4 厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各 打一个直径为 2 厘米，深为 1 厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少 （=3.14）？例 5 图 615 是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是 多少？例 6 图 616 中所示图形，是一个底面直径为 20 厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放
5、着一个底面直径为 6 厘米，高 20 厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯 里的水将下降几厘米？（=3.14）例 7 横截面直径为 2 分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为 75.36 平方分米， 求原来那根圆钢的体积是多少（=3.14）？例 8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 10 厘米、圆心角为 216的扇形，求此圆锥的体 积是多少（=3.14）？ 分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图 6 17。在图 617 中，字母 R、h 分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长 =2Rn360（这里 R 是圆的半径，n 为弧所对圆心角
6、的度数） ，便可求出弧长来。这个 弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径 R。另外从图 617 中 可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可 求出圆锥的高 h。例 9 图 618 中的图形是一个正方体，H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA1 的中点。现在沿三 角形 GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？例 10 图 619 是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图 620 是这个三棱柱的平面展开 图。当以 A 面作为底面放在桌面上时，水高 2 厘米，如果以 B 面与 C 面分别作为底面放在 桌面上
7、时，水面高各为多少厘米？1、分析与解：从图 65 和图 66 中可知： 与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图 67（a） 、 （b） 、 （c）三个展开图中，判定谁与谁处在 互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。先看图 67 中的（a） ，仔细观察可知，1 与 4，3 与处在互为对面的位置上。再看图 67 中的（b） ，同上，1 与 3，2 与处在互为对面的位置上。最后再看图 67 中的（c） ，同上，1 与，2 与 4 处在互为对面的位置上。图 67（a） 、 （b） 、 （c）标有数字的空白面上的图案见图 68 中的（a） 、 （b） 、 （c） 。2、分析与解
8、：只要能正确画出图 69 中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图 610 中的粗实线，就是题目中所要标出的线段 AC、CQ、QP、PA。3、分析与解：沿圆柱体的母线 MN 将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图 612，从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N 点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点 M 到 达不相邻的另一个顶点 N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中 长方形的一条对角线，见图 612 和图 613。4、分析与解：因为正方体的棱长为 2 厘米，而孔深只有 1 厘米，所以正方体没有被打透。 这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加
9、上六个完全一样的圆 柱的侧面积、这六个圆柱的高为 1 厘米，底面圆的半径为 1 厘米。正方体的表面积为 426=96（平方厘米）一个圆柱的侧面积为 211=6.28（平方厘米）几何体的表面积为 96+6.286=133.68（平方厘米）答：（略） 5、分析与解：从图 615 中可以看出，18 个小正方体一共摆了三层，第一层 2 个，第二 层 7 个，因为 18-7-2=9，所以第三层摆了 9 个。另外，上、下两个面的表面积是相同的， 同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是 1 厘米， 所以上面的表面积为 129=9（平方厘米）前面的表面积为 128=8（平方厘米
10、）左面的表面积为 127=7（平方厘米）几何体的表面积为 92+82+72=答：（略） 6、分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱， 这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为 20 厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。因为圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为 x，则小圆柱的体积为 x（202）2x=100x（立方厘米）所以有下列方程：60=100x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：铅锤取出后，杯中水面下降了 0.6 厘米。 7、分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积高。假设圆钢长为 x，因为将圆钢 截
11、成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式 子：2（22）x+4（22）2=2x+4根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圆钢的体积为 （22）21031.4（立方分米） 答：（略） 8、所以 2R=12，得 R=6（厘米）在直角三角形中，根据勾股定理有：102=h2+R2，即 h2=102-R2=100-36=64，h=8（厘米）9、分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以 HA 与 AG、AF 都垂直。即 HA 垂直于三 角形 AGF 所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF 为底面，H 为顶 点的一个三
12、棱锥，如果我们假设正方体的棱长为 a，则正方体的体积为 a3。三棱锥的底面是直角三角形 AGF，而角 FAG 为 90，G、F 又分别为 AD、而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以 3，所以锯掉的那一角的体积为分析与解：我们先求以 A 面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与 以梯形 FJQP 为底面、JI 为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图 6 20 可以看出，此棱柱的高 JI 为 12 厘米，梯形 FJQP 的下底 FJ 为 3 厘米，高 QJ 为 2 厘米。 因为 PTJQ 是个长方形，所以 QJ=PT=2 厘米，而 Q 点是 GJ 的中点，PQ
13、平行于 FJ，这样可以 推算出 QP 为 FJ 的一半，为 1.5 厘米，这一来梯形 FJQP 的面积为以 C 面为底面时，水的体积与以 C（即三解形 EHI）为底面，高为某数值此时水面的高度为：546=9（厘米）以 B 面作为底面时，原来以 A 面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水 的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。 为方便起见，我们把 C 面适当放大成图 621，在图 621 中，因为 PQ 平行于 FJ，PT 垂直于 FJ，所以 JQPT 是一长方图 6ZI 形，故 JQ、PT、QG 的长都是 2 厘米，TJ、PQ 的长为 1.5 厘米，因为 FJ 长为 3 厘米，所以 FT 的长也为 1.5 厘米，这一来三角形 FPT 与 PQG 的 形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形 PFT 为底面，JI 为高的装水的棱柱的体积， 与现在以三角形 PQG 为底面，JI 为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以 B 面为底面时， 水面的高度等于 PQ 的长度，即水面高为 1.5 厘米。
