《线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第4章_矩阵的对角化与二次型的化简习题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第4章_矩阵的对角化与二次型的化简习题解答（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题习题 44-1.设有一个特征值 2，求的一个特征值AEAA222解解 若的特征值为，则的特征值为，AEAA222222计算得.222222 4-2.设是 3 阶方阵，已知方阵，都不可逆，求的全部特AAE AE AE 3A 征值解解 由，都不可逆，知AE AE AE 3，即，,0EA0EA0EA30EA得的特征值为A1, 1,34-3.已知矩阵的特征值为，求 xA 44174147 321123x解解 由特征值的性质知，即12377x，所以1814x4x 4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量若可以对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵：PAPP1（1） 313043241解解
2、由特征方程,142 340 313EA (1)(2(3)0解得矩阵的特征值.A1231,2,3对于特征值，解方程组11，()EA XO即 ，1232420 3300 3120x x x 得基础解系2，11 1 1 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为A1111 1 1 对应于特征值，解方程组22，(2)EA XO即 ，1233420 3200 3110x x x 得基础解系，22 3 3 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为A4322 3 3 对应于特征值，解方程组33，(3)EA XO即 ，1234420 3100 3100x x x 得基础解系，31 3 4 所以矩阵的对应于
3、特征值的线性无关的特征向量为A43331 3 4 有 3 个线性无关的特征向量A，11 1 1 22 3 3 31 3 4 所以可以对角化A 令，123121 ,133 134P 则可逆，且有P11 2 3P AP （2） 解解 由特征方程,452 573 694EA 2(1)0解得矩阵的特征值A1231,0对应于特征值，解方程组11，()EA XO即 ，1233520 5830 6930x x x 得基础解系，11 1 1 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为A11411 1 1 对于特征值，解方程组230，(0)EA XO即 ，1234520 5730 6940x x x 得基础解
4、系，21 2 3 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为A23021 2 3 只有 2 个线性无关的特征向量，所以不可对角化AA（3） 1324121019106127解解 由特征方程,7126 101910 122413EA 2(1)(1)0解得矩阵的特征值A1231,1 对应于特征值，解方程组121，()EA XO即 ，12361260 1020100 1224120x x x 得基础解系5，12 1 0 21 0 1 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为A121，.12 1 0 21 0 1 对于特征值，解方程组31 ，()EA XO即 ，12381260 1018100 1
5、224140x x x 得基础解系，33 5 6 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为A31 33 5 6 有 3 个线性无关的特征向量，所以可以对角化，AA 令，123213 ,105 016P 则可逆，且有P11 1 1P AP 4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵：6（1）121 312112131 211解解 令，12311123 111,22 11132A 由于，所以不是正交矩阵12,0 A（2）97 94 9494 91 9894 98 91解解 因为，184184 999999100814814010999999001447447 999999TA AE 故是正交矩阵A4-6
6、.求正交矩阵，使为对角形矩阵：PAPP1（1） 542452222 A解解 由特征方程为，2222 254(10)(1)0 245EA 得的特征值为A12310,1对于，解方程组110，(10)EA XO7即，1238220 2540 2450x x x 得属于特征值的一个特征向量110，1(1,2, 2)T将标准化，得1.11 22( ,)3 33T对于，解方程组231，()EA XO即，1231220 2440 2440x x x 得属于特征值的一个极大线性无关特征向量组231，,2( 2,1,0)T 3(2,0,1)T将正交化，得32,，2( 2,1,0)T 3(2,4,5)T将标准化，
7、得32,，22 55(,0)55T 32 5 4 55(,)15153T令，12312 52 5 3515 254 5,3515 25033P 则为正交矩阵，且有P11000 010 001P AP 8（2）220 212020A 解解 由特征方程为，21101 1110(1) (3)(1)00111 1011EA 得的特征值为A12341,3,1, 对于，解方程组121，()EA XO即，123401010 10100 01010 10100x x xx 得属于特征值的线性无关的特征向量为121，1(1,0,1,0)T2(0,1,0,1)T已正交只须将单位化，得12, 12, ，；122(,
8、0,0)22T222(0,0,)22T对于，解方程组33，(3)EA XO即，123421010 12100 01210 10120x x xx 得属于特征值的线性无关特征向量33，3(1,1, 1, 1)T 将单位化，得39.31 111( ,)2 222T对于，解方程组41 ，()EA XO即，123421010 12100 01210 10120x x xx 得属于特征值的线性无关特征向量41 ，4(1, 1, 1,1)T 将单位化，得4，4111 1( , )222 2T令，12342110222 2110222, 2110222 2110222P 则为正交矩阵，且有.P11 1 3
9、1P AP 4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式：（1）.32212 22 1442xxxxxxf解解 二次型的系数矩阵为，220 212 020A 矩阵的特征方程为10，220 212(4)(1)(2)0 02EA 故的特征值为A1234,1,2 对于，解方程组14，(4)EA XO即，1232200 2320 0240x x x 得属于特征值的一个特征向量14，1(2, 2,1)T将标准化，得1.122 1( , )33 3T对于，解方程组21，()EA XO即，1231200 2020 0210x x x 得属于特征值的一个特征向量21，2(2,1, 2)T将标准化，得2.22 12
10、( , ,)3 33T对于，解方程组32 ，( 2)EA XO即11，1234200 2320 0220x x x 得属于特征值的一个特征向量32 ，3(1,2,2)T将标准化，得3.31 2 2( , )3 3 3T令，123221 333 212,333 122 333Q 则通过正交变换112233221 333 212 333 122 333xy xy xy 即可将二次型化为标准形式.f222 123123(,)42g y yyyyy（2）.131423248228fx xx xx xx x解解 二次型的系数矩阵为，0041 0014 4100 1400A 矩阵的特征方程为，041 014(5)(5)(3)(3)0410 140EA
