正弦函数y=sinx的图象和性质

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1、【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 1.3.1 正弦函数的图象和性质二. 教学目的1、掌握用几何法绘制正弦函数ysinx,xR的图象的方法；掌握用五点法画正弦函 数的简图的方法及意义；2、掌握正弦函数ysinx,xR的性质及应用；3、掌握正弦型函数yAsin( x),xR 的图象（特别是用五点法画函数 yAsin( x),xR 的图象） 、性质及应用。三. 教学重点、难点 重点：1、用五点法画函数yAsin( x),xR 的简图；2、函数yAsin( x),xR 的性质及应用；3、函数ysinx,xR与yAsin( x),xR 的图象的关系。 难点：1、正弦函数ysinx,xR的周期

2、性和单调性的理解；2、函数ysinx,xR与yAsin( x),xR 的图象的关系。四. 知识分析 1、正弦函数图象的几何作法、正弦函数图象的几何作法 采用弧度制， x、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O1 ，以 Ol 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作 x 轴的垂线，可得对应于 0、6、3、L、2的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这 02这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图、五

3、点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，ysinx,x0,2 的图象上有五点起决定作用，它们是3(0,0),(,1),( ,0),(, 1),(2 ,0)22 。描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。 因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们 连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。 注意： （1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位 置，因此作出的图象不够精确。 （2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。 （3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的

4、问题曾出现在历届高考试题中。 （4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。（5）如果函数表达式不是ysinx，则那五点就可能不是 3(0,0),(,1),( ,0),(, 1),22(2 ,0)如：用“五点法”作函数y1 sinx,x0,2 的简图，所用的五个关键点列表就 是：而用“五点法”作函数ysin(2x)3 的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列 表就是： x612 37 125 62x302 3 2 2 y010103 3、正弦曲线、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一部分：1086

5、42-2-4-6-8-10-15-10-5510154、正弦函数的值域、正弦函数的值域 从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度； 从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y1 之间，说明|sinx|1，即 正弦函数的值域是1 , 1 。 注意：这里所说的正弦函数的值域是l,1，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦 曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是1,1 。如ysinx,x0,2，则值域就是0，1， 因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其 定义域。5、周期函数的定义、周期函数的定义一般地，对于函数 yf ( x ) ，如果存在一个不为零的

6、常数 T ，使得当 x 取定义域 内的每一个值时， f(xT)f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的 常数 T 叫做这个函数的周期。 注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足 f(xT)f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。例如：4sin)24sin(但是3sin)23sin(就是说，2不能对 x 的定义域内的每一个值都有sin(x)sinx2 , 因此2不是 sinx 的周期 。 （2）从等式 f(xT)f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如 f (2x + T) = f

7、 (2x) , T 不是 f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)Tf2(x)2 f( 2x ) ，则T 2是 f ( 2x)的周期。 （3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正 周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。 （4）并不是所有周期函数都存在最小正周期例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每 一个值 x ，都有 f ( x + T ) C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的

8、 常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。再如函数 )(0)( 1)(是无理数是有理数xxxD设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数 时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两 种情况下，都有 D ( x + r ) D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由 于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。 （5） “f ( x + T )f ( x ) ”是定义域

9、内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。 （6）周期函数的周期不只一个，若 T 是周期，则 kT ( kN* )一定也是周期。 （7）在周期函数 y f（x）中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。6、正弦函数的周期性、正弦函数的周期性（1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，2k (kZk0)且是它 的周期，最小正周期是 2。 （2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2k)sinx ( kZ)得到。7、正弦函数的奇偶性、

10、正弦函数的奇偶性正弦函数 y = sinx ( xR )是奇函数。 （1）由诱导公式 sin（x ） sinx 可知上述结论成立， （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称； （3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（ k, 0 ） 。正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程为xk,xZ2 。 注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大 值或最小值。8、正弦函数的单调性、正弦函数的单调性由正弦曲线可以看出：当 x 由 2增大到 2时，曲线逐渐上升，sinx 由1 增大到1；当 x 由 2增大到3 2 时，曲线逐渐下降，sinx 由 1 减小到1。

11、由正弦函数的周期性知道：正弦函数yx sin在每一个闭区间2222kk， （kZ）上都从1 增大到 1，是增函数；在每一个闭区间223 22kk， （kZ）上，都从 1 减小到1，是减函数。也就是说正弦函数yx sin的单调区间是：2222kk， 及223 22kk， （kZ）9、函数图象的左右平移变换、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数yxsin() 3和yxsin() 4的简图，并指出它们与yx sin图象之间的关系。解析：函数yxsin() 3的周期为2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭 区间上的简图。设xZ 3，那么sin()sinxZ 3，xZ 3当 Z 取 0、2

12、3 22、 、 时，x 取 362 37 65 3、 。所对应的五点是函数yxsin() 3，x 35 3， 图象上起关键作用的点。列表：x 3 62 37 65 3x 30 2 3 22 sin()x 30 1 0 1 0 类似地，对于函数yxsin() 4，可列出下表：x 43 45 47 49 4x 40 2 3 22 sin()x 40 1 0 1 0 描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出yxsin() 3，xR及yxsin() 4，xR的简图（图略） 。由图可以看出，yxsin() 3的图象可以看作是把yx sin的图象上所有的点向左平行移动 3个

13、单位而得到的，yxsin() 4的图象可以看作是把yx sin的图象上所有的点向右平行移动 4个单位得到的。注意：一般地，函数yxsin()() 0的图象，可以看作是把yx sin的图象上所有的点向左（当 0时）或向右（当 0时）平行移动| |个单位而得到的。推广到一般有：将函数yf x( )的图象沿 x 轴方向平移| | a个单位后得到函数yf xa a()()0的 图象。当 a0 时向左平移，当 a0 且 A1）的图象，可以看作是把yx sin的图象 上所有点的纵坐标伸长（当 A1 时）或缩短（当 00 且 A1）的图象，可以看作是把函数yf x( )图象上的点的纵坐标伸长（当 A1）或缩

14、短（当 00， 0，x )0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T 2 ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数fT1 2 ，它叫做振动的频率；x 叫做相位，叫做初相（即当 x0 时的相位） 。【典型例题典型例题】例 1. 作出函数yx12cos的图象分析：分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。解析：解析：yx12cos化为yx|sin |即yxkxk xkxk sin () sin ()22 222 ()kZ其图象如图：点评：点评：画yx|sin |的图象可分为两步完成，第一步先

15、画出yxxsin，0和 yx sin，x ()，2的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的 曲线。例 2. 求下列函数的周期（1）yx sin1 2（2）yx236sin()分析：分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角 函数去处理。解析：解析：（1）如果令mx1 2，则sinsin1 2xm 是周期函数，且周期为2sin()sin1 221 2xx即sin()sin1 241 2xxsin1 2x 的周期是4（2）Q 2362236sin()sin()xx即21 366236sin ()sin()xx236sin()x的周期是6。点评：点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量 x 的系数有关。一般地，函数 yAxsin()