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1、第 1 页 共 10 页第五讲第五讲 三角形的五心三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角 定理. 例 1过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在ABC 外接圆上. (杭州大学中学数学竞赛习题) 分析：由已知可得 MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点 M 是PBP 的外心，点N 是PPC 的外心.有BPP=BMP=BAC，21 21PPC=PNC=BAC.21 21BPC=
2、BPP+PPC=BAC.从而，P点与 A，B，C 共圆、即 P在ABC 外接圆上.由于 PP 平分BPC，显然还有PB:PC=BP:PC.例 2在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以APS， BQP，CSQ 的外心为顶点的三角形与ABC 相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设 O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ 的外心，作出六边形O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360将O2QO3绕着 O3点旋转到KSO3，易判断KSO
3、1O2PO1，同时ABCPPMNABCQKPOOO. .S123第 2 页 共 10 页可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K21=(O2O1S+SO1K)21=(O2O1S+PO1O2)21=PO1S=A；21同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC. 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题. 例 3AD，BE，CF 是ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在PAD， PBE，PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第 26 届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设 G 为ABC 重心
4、，直线 PG 与 AB ，BC 相交.从 A，C，D，E，F 分别 作该直线的垂线，垂足为 A，C，D，E，F.易证 AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，EE=DD+FF.有 SPGE=SPGD+SPGF.两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SPAD+SPCF. 例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围 成的新三角形相似.其逆亦真. 分析：将ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为.G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列.若ABC 为正三角形，易证.不妨设 abc，
5、有CF=，2222221cbaBE=，2222221bacAD=.2222221acb将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.a23b23c23AAFFGEE D C PCBD第 3 页 共 10 页CF:BE:AD =:a23b23c23=a:b:c.故有. (2)a2，b2，c2成等差数列.当中 abc 时，中 CFBEAD.，()2. SS aCF据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，43有=. SS 43=3a2=4CF2=2a2+b2-c222aCF 43a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心
6、造成的四个等 (外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例 5设 A1A2A3A4为O 内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接 A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为 R.由A2A3A4知=2RA2H1=2RcosA3A2A4；13212 sinHAAHA 由A1A3A4得A1H2=2RcosA3A1A4.但A3A2A4=A3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2，故得 H1H2
7、 A2A1.设 H1A1与 H2A2的交点为 M，故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称.=.OAAAA1234HH12第 4 页 共 10 页同理，H2H3与 A2A3，H3H4与 A3A4，H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对 称.故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称，两者 是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了. 例 6H 为ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中心.一个以 H 为 圆心的H 交直线 EF，FD，D
8、E 于 A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明 AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，ABC 外接圆半径为 R，H 的半径为 r. 连 HA1，AH 交 EF 于 M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH22 1A=r2+(AM2-MH2)， 又 AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)221 21=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2=cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,ABHAH sin=2Ra2=4R2sin2A.Aa sin
9、AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)2 1Abcacb 2222=(a2+b2+c2)-4R2+r2.21同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，2 1BB21=(a2+b2+c2)-4R2+r2.2 1CC21故有 AA1=BB1=CC1. 四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住 下面一个极为有用的等量关系： 设 I 为ABC 的内心，射线 AI 交ABC 外接圆于 A，则有 A HHHMABBAABCCCF12111222DEABCDOOO234O1第 5 页 共 10 页I=AB=AC.换言之，点
10、A必是IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例 7ABCD 为圆内接凸四边形，取DAB，ABC，BCD，CDA 的内心 O1， O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见中等数学1992；4 例 8已知O 内接ABC，Q 切 AB，AC 于 E，F 且与O 内切.试证：EF 中点 P 是ABC 之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增 加了条件 AB=AC.当 ABAC，怎样证明呢？ 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BC 中点 K 都在BAC 平
11、分线上.易知AQ=.sinrQKAQ=MQQN，QK=AQQNMQ=.sin/)2( rrrR)2(sinrR 由 RtEPQ 知 PQ=.r sinPK=PQ+QK=+=.r sin)2(sinrR R2sinPK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切. 例 9在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中 r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与 a，b，c 相切的旁切圆半径， p 表示半周.(杭州大学中
12、学数学竞赛习题) 分析：设 RtABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).AMBCKNEROQFrPKrrrrOOO213AO ECB abc第 6 页 共 10 页p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c)21 21=(a+b)2-c2 41=ab；21(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c)21 21=c2-(a-b)2=ab.41 21p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而 r=(a+b-c)21=p-c.r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-
13、a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证. 例 10M 是ABC 边 AB 上的任意一点.r1，r2，r 分别是AMC，BMC， ABC 内切圆的半径，q1，q2，q 分别是上述三角形在ACB 内部的旁切圆半径.证明：=.11 qr22 qr qr(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA2sinA=ABsin2sinBOAB2sinAA.BCOOED第 7 页 共 10 页=AB，2sin2sin2sinBABAOE= AB.2sin2cos2cosBABA.2 2 BtgAtgEOOD亦即有=11 qr22 qr 2222BtgCNBtgCMAtgAtg=.22
14、BtgAtgqr六、众心共圆 这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现 了同一三角形的几个心. 例 11设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1) AD，BE，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题) 分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF，EB 是ACE 的三条内角平分 线，I 为ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由BDF，易证 BP，DQ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，
15、利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)Erdos. .IPABC DEF QS第 8 页 共 10 页=AD+BE+CF.I 就是一点两心. 例 12ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点 F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G，G 必为ABC 重
