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1、1求递推数列的通项公式的九种方法求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考 和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o例例 1 1 在数列na中，31a,) 1(11nnaann，求通项公式na.解：原递推式可化为：1111nnaann则,21 1112 aa 31 2123 aa41 3134 aa，nnaann1 111逐项相加得：naan111.故nan14.二、作商求和法二、作商求和法例例 2 2 设数列na是首项为 1 的正项数列，且0) 1(1
2、22 1nnnnaanaan（n=1,2,3） ，则它的通项公式是na=（2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为：)() 1(11nnnnaanaan=0 nnaa10， 11 nn aann则 ,43,32,21342312aa aa aa，nn aann11逐项相乘得：naan11，即na=n1.三、换元法三、换元法例例 3 3 已知数列na，其中913,3421aa，且当 n3 时，)(31211nnnnaaaa，求通项公式na（1986年高考文科第八题改编）.解：设11nnnaab，原递推式可化为： ,3121nnnbbb是一个等比数列，91 34 913121aab，公比为3
3、1.故nnn nbb)31()31(91)31(22 11 .故n nnaa)31(1.由逐差法可得：n na)31(21 23. 例例 4 4 已知数列na，其中2, 121aa，且当 n3 时，1221nnnaaa，求通项公式na。解 由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为121nnbb，因此nb是一个等差数列，1121aab，公差为 1.故nbn.。由于112312121nnnnaaaaaaabbbLL又2) 1(121nnbbbnL 所以) 1(211nnan，即)2(212nnan2四、积差相消法四、积差相消法例例 5 5 设正数列0
4、a，1a，na，na，满足2nnaa21nnaa=12na )2( n且110 aa，求na的通项公式.解 将递推式两边同除以21nnaa整理得：12211nnnn aa aa设nb=1nn aa，则01 1aab =1，121nnbb，故有1212 bb 1223 bb 121nnbb (1n)由22n+ 32n+(1n)02得122221n nbL=12 n，即1nn aa=12 n.逐项相乘得：na=2) 12( 222) 12() 12(nL，考虑到10a，故 2222) 12() 12() 12(1nnaL) 1()0( nn. 五、取倒数法五、取倒数法例例 6 6 已知数列na中，
5、其中, 11a，且当 n2 时，1211 nn naaa，求通项公式na。解 将1211 nn naaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，首项是111a，公差为2，所以122) 1(11nnan，即121 nan.六、取对数法六、取对数法例例 7 7 若数列na中，1a=3 且2 1nnaa（n 是正整数） ，则它的通项公式是na=（2002 年上海高考题）.解 由题意知na0，将2 1nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nn aa，所以数列lgna是以1lga=3lg为首项，公比为 2 的等比数列，121 13lg2lglgnn naa ，即12
6、3nna.3七、平方（开方）法七、平方（开方）法例例 8 8 若数列na中，1a=2 且2 13nnaa（n2） ，求它的通项公式是na.解 将2 13nnaa两边平方整理得32 12nnaa。数列2 na是以2 1a=4 为首项，3 为公差的等差数列。133) 1(2 12nnaan。因为na0，所以13 nan。八、待定系数法八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如 下：1、BAaann1（A、B 为常数）型，可化为1na=A（na）的形式.例例 9 9 若数列na中，1a=1，nS是数列na的前n项之和，且nn n
7、SSS431（n1） ，求数列na的通项公式是na.解 递推式nn nSSS431可变形为41311nnSS（1）设（1）式可化为)1(311nnSS（2）比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有)21(3211nnSS。故数列21nS是以3211S为首项，3 为公比的等比数列。21nS=nn3331。所以131 nnS。当 n2，1238332 231 231211nnnnnnnnSSa。数列na的通项公式是 123833212nnn na )2() 1( nn。2、BAaann1nC（A、B、C 为常数，下同）型，可化为1 1 n nCa=n nCaA(）的形式.例例 1010 在数列na
8、中，,342, 11 11 n nnaaa求通项公式na。解：原递推式可化为：)3(231 1 n nn naa 比较系数得=-4，式即是：)34(2341 1 n nn naa.4则数列341n na是一个等比数列，其首项53411 1a，公比是 2. 112534nn na 即112534nn na.3、nnnaBaAa12型，可化为)()(112nnnnaaAaa的形式。例例 1111 在数列na中，2, 121aa，当Nn，nnnaaa6512 求通项公式na.解：式可化为：)(5(112nnnnaaaa比较系数得=-3 或=-2，不妨取=-2.式可化为：)2(32112nnnnaaa
9、a则21nnaa是一个等比数列，首项122aa =2-2（-1）=4，公比为 3.1 1342 n nnaa.利用上题结果有：112534nn na.4、CBnAaann1型，可化为) 1(21211naAnann的形式。例例 1212 在数列na中，231a，12nnaa=63n 求通项公式na.解 式可化为：21121) 1()(2nanann 比较系数可得：1=-6，92， 式为12nnbbnb是一个等比数列，首项299611nab，公比为21. 1)21(29n nb即 n nna)21(996 故96)21(9nan n.九、猜想法九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的
10、递推式求出123,a a a，然后猜想出满足递推式的一个通项公式na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例例 1313 在各项均为正数的数列na中，nS为数列na的前 n 项和，nS=1(2na+ 1)na，求其通项公式。5求求递递推数列通推数列通项项的特征根法与不的特征根法与不动动点法点法一、形如一、形如21( ,nnnapaqap q是常数）的数列是常数）的数列形如112221,( ,nnnam am apaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq若有二异根, ，则可令1212( ,nn naccc c是待定常数）若有二重根，则可令1212()(
11、,n nacncc c是待定常数）再利用1122,am am可求得12,c c，进而求得na例例 1已知数列na满足* 12212,3,32()nnnaaaaa nN，求数列na的通项na解：解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nn nacc，由1122122243accacc ，得1211 2cc， 112nna 例例 2已知数列na满足* 12211,2,44()nnnaaaaa nN，求数列na的通项na解：解：其特征方程为2441xx，解得121 2xx，令121 2nnacnc，由1122121()12 1(2)24accacc ，得1246cc ， 132 2
12、nnna二、形如二、形如2n n nAaBaCaD的数列的数列对于数列2n n nAaBaCaD，* 1,( , , ,am nNA B C D是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDA xB若有二异根, ，则可令11nnnnaacaa （其中c是待定常数） ，代入12,a a的值可求得c值这样数列nna a 是首项为11a a ，公比为c的等比数列，于是这样可求得na6若有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数） ，代入12,a a的值可求得c值这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na此方法又称不动点法例例 3已知数列n
13、a满足1 1 122,(2)21n n naaana，求数列na的通项na解：解：其特征方程为2 21xxx，化简得2220x ，解得121,1xx ，令1111 11nnnnaacaa 由12,a 得24 5a ，可得1 3c ，数列1 1nna a是以111113aa为首项，以1 3为公比的等比数列，1111 133nnna a ，3( 1) 3( 1)nnnnna 例例 4已知数列na满足* 11212,()46n n naaanNa，求数列na的通项na解：解：其特征方程为2146xxx，即24410xx ，解得121 2xx ，令111 11 22nnc aa 由12,a 得23 14a ，求得1c ，数列1 1 2na 是以112 15 2a 为首项，以1为
