质数与合数的基本概念

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1、 状元奥数状元奥数1质数与合数的基本概念质数与合数的基本概念知识点拨知识点拨1 质数与合数质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊

2、性为考点. 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.2. 判断一个数是否为质数的方法判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数，再列出所有不大于 K 的质2K数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质数.例如：149 很接近，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，14412 12所以 149 是质数.状元奥数状元奥数2

3、例题精讲例题精讲例例 1：下面是主试委员会为第六届：下面是主试委员会为第六届“华杯赛华杯赛”写的一首诗：写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握；九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌 请你将诗中请你将诗中 56 个字第个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为行左边第一字起逐行逐字编为 156 号，再将号码中的号，再将号码中的 质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这质数由小到大

4、找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这 句话句话例例 2：(2008 年南京市青少年年南京市青少年“科学小博士科学小博士”思维训练思维训练)炎黄骄子炎黄骄子 菲尔兹奖被誉菲尔兹奖被誉 为为“数学界的诺贝尔奖数学界的诺贝尔奖” ，只奖励，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、年、2006 年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数素数)，陶哲轩等证明了这，陶哲轩等证明了这 样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数

5、 k，存在无穷多组含有，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数个等间隔质数(素素 数数)的数组例如，的数组例如，时，时，3，5，7 是间隔为是间隔为 2 的的 3 个质数；个质数；5，11，17 是间隔为是间隔为 6 的的 33k 个质数：而个质数：而 ， ， 是间隔为是间隔为 12 的的 3 个质数个质数(由小到大排列，只写一由小到大排列，只写一 组组 3 个质数即可个质数即可)状元奥数状元奥数3例例 3：(2003 年年“祖冲之杯祖冲之杯”邀请赛邀请赛)大约大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，年前，我国伟大的数学家祖冲之， 计算出计算出的值在的值在 3.1415926 和和 3.14

6、15927 之间，成为世界上第一个把之间，成为世界上第一个把的值精确到的值精确到 7 位小位小 数的人现代人利用计算机已经将数的人现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后的值计算到了小数点后 515 亿位以上这些数排列既亿位以上这些数排列既 无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，是质数，31 也是质数，但也是质数，但 314 不不 是质数，在是质数，在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中恰有一个是质数，中恰有一个是质数， 是哪个？是哪个？例例 4：(2004 年全国小学

7、奥林匹克年全国小学奥林匹克)自然数自然数是一个两位数，它是一个质数，而且是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？N例例 5：两个质数之和为：两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少，求这两个质数的乘积是多少.39状元奥数状元奥数4例例 6：如果：如果 a，b 均为质数，且均为质数，且，则，则_.3741abab例例 7：A，B，C 为为 3 个小于个小于 20 的质数，的质数，求这三个质数，求这三个质数. 30ABC例例 8：已知：已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这个不同质数的

8、和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是个质数的乘积是 多少？多少？状元奥数状元奥数5例例 9：小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，：小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，其中，而且，而且和和都是质数都是质数(abbaababba 和和是两个数字是两个数字)具有这种形式的数共有多少个？具有这种形式的数共有多少个？ab例例 10：(“祖冲之杯祖冲之杯”小学数学邀请赛小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆

9、至 多可乘多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐 22 个人，就会有个人，就会有 1 个人没有座位；个人没有座位； 如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多 少辆大巴？少辆大巴？例例 11：(俄罗斯数学奥林匹克俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如 果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？状元奥数状元奥数6例例 12

10、：(第五届第五届“华杯赛华杯赛”口试第口试第 15 题题)图中圆圈内依次写出了前图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲个质数；甲 顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中乙 乙 乙乙 乙 “乙 乙”乙 乙 “乙 乙”978913117532351561285.问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么为什么?例例 13： (全国小学数学奥林匹克全国小学数学奥林匹克)从从 19 中选出中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻个数排成一个圆圈，使得相

11、邻 的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数， 其中可以读到的最大的数是多少？其中可以读到的最大的数是多少？例例 14：(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用用 L 表示所有被表示所有被 3 除余除余 1 的全体正整的全体正整状元奥数状元奥数7数如果数如果 L 中的数中的数(1 不算不算)除除 1 及它本身以外，不能被及它本身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为的任何数整除，称此数为“L质数质数” 问：第问：第 8 个个“L质数质数”是什么？是什么？

12、例例 15：9 个连续的自然数，每个数都大于个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请，那么其中最多有多少个质数？请 列举和最小的一组列举和最小的一组例例 16：(我爱数学少年数学夏令营我爱数学少年数学夏令营)用用 0，1，2，9 这这 10 个数字组成个数字组成 6 个质数，个质数， 每个数字至多用每个数字至多用 1 次，每个质数都不大于次，每个质数都不大于 500，那么共有多少种不同的组成，那么共有多少种不同的组成 6 个质数的方个质数的方 法请将所有方法都列出来法请将所有方法都列出来例例 17：从小到大写出：从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大个质数，使

13、后面数都比前面的数大 12。这样的数有几组？。这样的数有几组？状元奥数状元奥数8例例 18：用：用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这这 9 个数字组成质数，如果每个数字都个数字组成质数，如果每个数字都 要用到并且只能用一次，那么这要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数个数字最多能组成多少个质数.例例 19：有三张卡片，它们上面各写着数字：有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，从中抽出一张、二张、三张， 按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数

14、，请你将其中的质数都写 出来出来. 例例 20：某质数加：某质数加 6 或减或减 6 得到的数仍是质数，在得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质以内你能找出几个这样的质 数？把它们写出来数？把它们写出来. 状元奥数状元奥数9例例 20：7 个连续质数从大到小排列是个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g。已知它们的和是偶。已知它们的和是偶 数，那么数，那么 d 是多少？是多少？例例 22：从：从以内的质数中选出以内的质数中选出个，然后把这个，然后把这个数分别写在正方体木块的个数分别写在正方体木块的2066 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等个面上，并且使得相对两

15、个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个将这样的三个木块掷在地上，向上的三个6 面的三个数之和可能有多少种不同的值？面的三个数之和可能有多少种不同的值？例例 23：将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，：将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质， 那么那么 A 最小是几？最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）状元奥数状元奥数10例例 24：4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次， 记录千克数如下：记录千克数如下：8，9，10，11，12，13已知已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均只空瓶的重量之和以及油的重量之和均 为质数，求最重的两瓶内有多少油？为质数，求最重的两瓶内有多少油？例例 25：将将 60 拆拆成成 10 个个质质数数之之和和，要要求求最最大大的的质质数数尽尽可可能能小小，那那么么其其中中最最大大的的 质质数数是是多多少少例例 26：将：将 50 分拆成分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最个质数的和，要求其中最大的质数尽可能