有关二项式定理的拓展

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1、有关二项式定理的拓展有关二项式定理的拓展学了二项式定理，大家都知道这条公式，但我们不妨将眼光放大0011 12220nnnnnn nnnnabC a bC abC abC a bL一点，不止二项，如果是三项、四项，甚至是项又如何？n 先列几个式子看看吧：2222222abcabcabacbc33332222223333336abcabca baba cacb cbcabc4444333333222244444466abcabca ba cb cb aacbca ba c222226121212b cabcab ca bc好了，到四次为止吧，暂且不看那些烦人的系数，看看各项吧.我们不难从中发现，

2、各项的次数之和正好为展开前整个式子的次数，且各个未知数的次数是从到最高次都有的.0于是，我们不难猜出的各项，同理，展开检验后，我发现也很5abc2abcd 类似，其各项分别为：，.2a2b2c2dabacadbcbdcd- 为了方便，以及考虑到各底数与各次数的对称性，我采用如下书写方法：, , ,x y zxyzxzyyxzyzxzxyzyxa b ca b ca b ca b ca b ca b ca b c其中称为底集，称为幂集（幂集不具有互异性）.底集中元素个数必, ,a b c, ,x y z须等于幂集中元素个数，中展开后的各项称为同次项., , ,x y za b c例如：44,0,

3、03,1,02,2,01,2,1, ,4, ,6, ,12, ,abca b ca b ca b ca b c- 以上过程中你会发现各展开项中同次项的系数都相同，看到这些次数，我突然想起了 牛顿推出二项式定理的方法，其实在这里也可进行效仿.例如，对于的展开项，的系数可以看成,因4abcd 2,1,1,0, , ,a b c d211 421C C Cgg为，地位相同，不妨看成是的系数，也就是分别从个abcd2a bc4中取出个， 个与 个的取法的个数.abcd 2a1b1c于是，我们可以得到三项式定理：,0,01,1,02,2,0001122 12, , , ,nnnnnn nnnnnnabc

4、a b cC Ca b cC Ca b cC C gggggg2,1,13,2,1112123 1213, , ,nnnn nnnnnna b cC CCa b cC CC ggggggL L也就是说的展开式中，其项数即的解的种数，nabc, ,xyzn x y zN且合并同次项后，各项满足通式： , , ,x y zxyz nn xn x yC CCa b c gggxyzn最后，推广到多项式定理：的展开式中，其项数即 123n ixxxxL123iaaaanL的解的种数，且合并同次项后，各项满足通式：123,ia a aaNL123312112121, 123123,iiia aaaaaaa nn an aan aaaiiCCCCx x xxaaaan L LggLgLL