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1、指数与指数函数指数与指数函数撰稿：江用科 审稿：严春梅 责编：丁会敏一、目标认知一、目标认知学习目标：学习目标：1理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4
2、通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质；5掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；6掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别7学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；8通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；9通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题重点重点1分数指
3、数幂的概念及其运算性质；2指数函数的图象和性质.难点难点1根式的概念和分数指数幂的概念；2底数的变化对指数函数图象的影响.二、知识要点梳理二、知识要点梳理1 1整数指数幂的概念及运算性质整数指数幂的概念及运算性质(1)(1)整数指数幂的概念整数指数幂的概念(2)(2)运算法则运算法则；.2 2根式的概念和运算法则根式的概念和运算法则(1)n(1)n 次方根的定义：次方根的定义：若 xn=y(nN*，n1，yR)，则 x 称为 y 的 n 次方根.n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为；负数 y 的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n 为偶数时，正数 y 的偶
4、次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)(2)根式的意义与运算法则根式的意义与运算法则3 3分数指数幂的概念和运算法则分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定 a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：4 4有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当 a0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.注意：注意：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如
5、.5 5指数函数指数函数(1)(1)定义：定义：函数 y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为 R.(2)(2)图象及性质：图象及性质：y=ax01 时图象图象定义域 R，值域 （0，+）a0=1, 即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即 x=1 时，y 等于底数 a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0 时，00 时，ax1性质 既不是奇函数，也不是偶函数三、规律方法指导三、规律方法指导 1 1指数幂的一般运算步骤：指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是 负数，
6、先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后 要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式： a2b2（ab）（ab），（ab）2a22abb2，（ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的运用，能够简化运算.2 2指数式大小比较方法指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可经典例题透析经典例题透析 类
7、型一、指数运算、化简、求值类型一、指数运算、化简、求值1计算：(1)；(2)(3)；解：解：(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=-5+6+4-(3-)=2；注意：注意：1运算顺序(能否应用公式)；2指数为负先化正；3根式化为分数指数幂.举一反三：举一反三：【变式 1】计算下列各式：(1)； (2).解：解：(1)原式=；(2)原式.【变式 2】计算下列各式：；解：解：原式；2化简下列各式.(1) ； (2)； (3).思路点拨：思路点拨：(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体
8、数字的运算，学会如何简化运算.解：解：(1)(2)(3)举一反三：举一反三：【变式 1】化简：.解：解：原式=.注意：注意：当 n 为偶数时，.【变式 2】化简分析与解答：分析与解答：应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式.总结升华：总结升华：根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被 开方数分母为 1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简下列式子：(1) (2) (3)解：解：(1)原式(2)由平方根的定义得：(3).【变式 4】找出下面化简过程中的错误，并给出正确解法.化简.错解：错解：原式.分析与
9、解答：分析与解答：错解中在化简含分母参数的指数式时，没考虑字母参数的范围，由于题中出现了，所以-a0，即 a0则.正确解法：正确解法：由于存在，所以-a0，故 a-1b 时， =a-b.当 a=b 时，=0.当 a0， b0， 且 ab=ba， b=9a，求 a 的值.思路点拨：思路点拨：熟练掌握幂的运算是关键问题.解：解：(1)由得 x+x-1=23，则有；(2)a0， b0， 又 ab=ba， .类型二、函数的定义域、值域类型二、函数的定义域、值域4求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a 为大于 1 的常数)解：解：(1)函数的定义域为 R (对一切
10、 xR，2x-1). ，又 2x0， 1+2x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2)定义域为 R， 2x0， 即 x=-1 时，y 取最小值，同时 y 可以取一切大于的实数， 值域为).(3)定义域为 R，|x|0， -|x|0， ， 值域为(0，1.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又 ， ，值域为1，a)(a，+).总结升华：总结升华：求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉 y0 的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)解：解：(1)R(2)需满足 3-x0，即(3) 为使得函数有意义，需
11、满足 2x-10，即 2x1，故 x0(4)a1 时，；01，所以函数 y=1.7x为单调增函数，又因为 a10.983.1 (6)a1 时，01，1.11， -0.11.1-0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.90.30.70.4.(5)，又函数为减函数， ，为增函数，时，y1，.另解：另解：幂函数为增函数，则有，(下略).【变式 2】比较 1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.解：解：先比较的大小.由于底数(0，1)， 在 R 上是减函数， ， ，再考虑指数函数 y=1.3x， 由于 1.31， 所以 y=1.3x在 R 上为增函数 1.30.71.30=1， .总结
12、升华：总结升华：在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化 成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0，1 等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要 尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.6求函数(x-3，2)的单调区间，并求出它的值域.解：解：令， 则， x-3，2， ， ， 值域为，57， 再求单调区间.(1) 即 即 x1，2时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数.(2)即即 x-3，1时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数， 函数的单调增区间是1，2，单调减区
13、间是-3，1.总结升华：总结升华：形如 y=Aa2x+Bax+C(a0，且 a1)的函数若令 ax=u，便有 y=Au2+Bu+C， 但应注意 u0.举一反三：举一反三：【变式 1】求函数的值域及单调区间.思路点拨：思路点拨：1复合函数分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；2利用复合函数单调性判断方法求单调区间； 3求值域.解：解：设 u=-x2+3x-2， y=3u，其中 y=3u为 R 上的单调增函数，u=-x2+3x-2 在上单增，u=-x2+3x-2 在上单减，则在上单增，在上单减.又 u=-x2+3x-2， 的值域为.【变式 2】(复合函数的单调性)求函数的单调区间.解：解：当
14、a1 时，外层函数 y=au在上为增函数，内函数 u=x2-2x 在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；当 00，且 a1，当 x 满足什么条件时， y11 时，为使得 y1x2+2x-5，即 x3.9证明函数在定义域上为增函数.解：解：定义域为 xR，任取 x11， x11 且 x2-x10， .总结升华：总结升华：指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学 习中，尽量体会从一般到特殊的过程.类型四、判断函数的奇偶性类型四、判断函数的奇偶性10判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)解：解：f(x)定义域关于原点对称(定义域关于原点对称，
15、且 f(x)的定义域是定义域除掉 0 这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x)为偶函数.举一反三：举一反三：【变式 1】判断函数的奇偶性：.思路点拨：思路点拨：1函数的定义域x|xR 且 x0； 2计算 f(-x)等价形式.解：解：定义域x|xR 且 x0，又， f(-x)=f(x)，则 f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题类型五、指数函数的图象问题11为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度思路点拨：思路点拨：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：解：，把函数的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数的图象，故选 C总结升华：总结升华：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合 解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称 等12已知函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1，3)，且将其图象关于直线 y=x 翻折后图 象过点(2，
