费马大定理最后的证明

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1、费马大定理最后的证明费马大定理最后的证明自费马大定理提出后的 350 年以来，许多优秀的数学家采用种种方 法试图补证这个定理，但始终都未获得成功。英国的数学家怀尔斯 十年磨一剑，终于于 1995 年彻底解决了这一问题。怀尔斯：谨慎的屠龙者十七世纪法国数学家费尔马（Fermat）在刁番都 （Diophantine）著作的一页边上写了一个猜测“Xn+Yn=Zn当2 时 没有正整数解。”后人称此猜想为费尔马大定理。费尔马接着写道： “对此，我已发现了一个巧妙的证明，可惜这里页边的空白太小， 写不下。”费尔马去世之后，他的儿子把费尔马的著述、书信以及费尔马 校订刁番都的著作都一起发表了，但没有发现费尔

2、马大定理的证明， 费尔马是否真正能够证明这个猜想，至今仍然是个谜。三百多年以来，许多优秀的数学家采用种种方法试图补证这个 定理，但始终都未获得成功，直至最近才有英国的怀尔斯（Andrew Wiles）解决。历史性的转变发生在 1993 年 6 月 21 日至 23 日这三 天，当时在普林斯顿数学系任教的 40 岁的怀尔斯正在英国剑桥大学 举行一次约有 40 至 60 人出席的数学会议上，每天做一段演讲，题 目是“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”。从题目上看不出他要讲 的是费尔马大定理，但是他演讲的最后一句话是：“这表明费尔马 大定理成立，证毕。”怀尔斯的证明引起了数学界的很大关注，他的初稿虽然有

3、少许瑕 疵，但是稍后被怀尔斯自己修正过来。纽约时报曾在 1993 年 6 月 29 日以“安德鲁怀尔斯放出数学卫星，350 年的古老问题已被攻 克”为题发表有关报道。 费马大定理最后的证明费马大定理最后的证明 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学 家们前赴后继，却壮志未酬。1995 年，美国普林斯顿大学的安德 鲁怀尔斯教授经过 8 年的孤军奋战，用 130 页长的篇幅证明了费 马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 大问题大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此 简单和清晰，却长久不解。ET贝尔（Eric Temple Bell）在他 的大问题（The

4、 Last Problem）一书中写到，文明世界也许在 费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数 论中最值得为之奋斗的事。安德鲁怀尔斯 1953 年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教 授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到： “在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题 目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只 有一个问题而没有解答，怀尔斯被吸引住了。这就是 ET贝尔写的大问题。它叙述了费马大定理的历 史，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏，在长达 300 多年的

5、 时间里没有人能解决它。怀尔斯 30 多年后回忆起被引向费马大定理 时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能 解决它。这里正摆着我一个 10 岁的孩子能理解的问题，从 那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”怀尔斯 1974 年从牛津大学的 Merton 学院获得数学学士学位， 之后进入剑桥大学 Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没 有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你 花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰科茨（John Coates）正在研究椭圆曲线的 Iwasawa 理论，我开始跟随他工作。 ” 科茨说：“我记得一位同

6、事告诉我，他有一个非常好的、刚完成 数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其为学生。我非 常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有 很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任 何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对 资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任是为怀尔斯 找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说： “我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向， 但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、 他对好领域的直觉。然后，学

7、生能在这个方向上有多大成绩就是他 自己的事了。”科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决 定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点，椭圆方程的研究是他实现 梦想的工具。 孤独的战士孤独的战士1980 年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿 大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世 界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家， 但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费 马大定理的任务也是极为艰巨的。在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想” ，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那 是 198

8、6 年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间 他随意告诉我，肯里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理 间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命 历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切 就是证明谷山-志村猜想我十分清楚我应该回家去研究谷山-志 村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。20 世纪初，有人问伟大的数学家大卫希尔伯特为什么不去尝 试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用 3 年 的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失 败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入 到这个问题中，

9、但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。 他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的 兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被 他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所 有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回 到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证 明费马大定理的战斗。这是一场长达 7 年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证 明费马大定理。 欢呼与等待欢呼与等待经过 7 年的努力，怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定

10、理。现在是向世界公布的时候了。 1993 年 6 月底，有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。 怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经 是那里的一名研究生。1993 年 6 月 23 日，牛顿研究所举行了 20 世纪最重要的一次数 学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一 的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人 来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者 是安德鲁怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新 闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有

11、来听演讲。但是听 众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了 一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当 我写完费马大定理的证明时，我说：我想我就在这里结束，会 场上爆发出一阵持久的鼓掌声。”纽约时报在头版以终于欢呼“我发现了!”，久远的数学 之谜获解为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯 成为世界上最著名的数学家，也是唯一的数学家。人物杂志将 怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度 25 位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才 作他们新系列男装的模特。当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也 在进

12、行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望 的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，审稿人的职责 是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到数学发明，整整一 个夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可 是，证明的一个缺陷被发现了。 我的心灵归于平静我的心灵归于平静由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里梅休尔 决定不像通常那样指定 2-3 个审稿人，而是 6 个审稿人。200 页的 证明被分成 6 章，每位审稿人负责其中一章。怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中 提出的问题，他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克凯 兹负责审查第 3 章

13、，1993 年 8 月 23 日，他发现了证明中的一个小 缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每 一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就 在近旁，可是 6 个多月过去了，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境， 他准备承认失败。他向同事彼得萨克说明自己的情况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的 人。经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查 德泰勒到普林斯顿和他一起工作。泰勒 1994 年 1 月份到普林斯顿，可是到了 9 月，依然没有结果， 他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在 9 月 底作最后一次检查

14、。9 月 19 日，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了 问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了 一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有 这样的经历它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。 20 多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈， 又回到桌子旁看看它是否还在它还在那里。”这是少年时代的梦想和 8 年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世 界证明了他的才能。世界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总 共有 130 页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在 1995 年 5 月的数学年刊上。怀尔斯再一次出现在纽约时报的头 版上，标题是数学家称经典之谜已解决。约翰科茨说：“用 数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现 DNA 的结构 相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不 能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来， 安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”声望和荣誉纷至沓来。1995 年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发 的 Schock 数学奖，1996 年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学 院外籍院士。怀尔斯说：“再没有别的问题能像费马大定理一样对我有 同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年 的梦想那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。 ”