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1、2.6 等价关系与划分*等价关系是一类重要的二元关系定义定义 7.15: 设 R 是非空集合 A 上的关系.如果 R 是自反的,对称的和传递的,则称 R 为 A 上的等价关系.若R,则称x 等价于 y,记作 xy.例 1:设 A=1,2,8,定义 A 上的关系 R:R=|x,yAxy(mod3)证明: xA,有 xx(mod3).x,yA,若 xy(mod3),则有 yx(mod3).x,y,zA,若 xy(mod3),yz(mod3),则有 xz(mod3).关系图如下: (见图 2.6.1)定义定义 7.16: 设 R 为非空集合 A 上的等价关系, xA,令xR=y|yAxRy.称xR为
2、 x 关于 R 的等价类,简称为 x 的等价类,简记为x或 .x例如:例 1 中关系 R 的等价类有:1=4=7=1,4,72=5=8=2,5,83=6=3,6 .*对上述等价关系的推广,可得整数集合 Z 上模 n 同余的等价关系.xZ, x=qn+r , 0rn1.*例如: n=3, x=8, 8=23+2, r=2n=3, x=8, 8=(3)3+1, r=1定义: xyxy(mod n)该关系将 Z 中的数划分为等价类如下:余数为 0 的数, nz, zZ余数为 1 的数, nz+1, zZ余数为 n-1 的数, nz+(n-1), zZ构成的等价类:i=nz+i|zZ, i=0,1,2
3、,n-1.*下面给出等价类的性质(对一般的等价类而言).定理定理 7.147.14:设 R 为非空集合 A 上的等价关系,则(1) xA,x是 A 的非空子集;(2) x,yA,如果 xRy,则x=y;(3) x,yA,如果,则x与y不相交.yRx(4)x | xA = A .证明: (1)由等价类的定义,有 xA, xRx, 故 xx, 因而x.(2)任取 z,则有zxxRzzRx (由对称性)又有 zRxxRyzRy (由 R 的传递性)yRz (由对称性)从而证明了 zy,因而有x y.同理可证y x.因而有x=y.(3)假设xy,则存在 z xy,即有zxzy. 故RR, 由对称性,R
4、, 再由传递性, 有R, 这与 R 矛盾.(4)先证x| xA A.任取 y,yx| xAx(xAyx)yA (因为x A)从而有x|xA A.再证:A x|xA.任取 y,yAyyyAyx|xA.从而有 A x|xA成立.综上所述,A=x|xA.*由非空集合 A 和 A 上的等价关系 R 可以构造一个新的集合商集.定义定义 7.177.17:设 R 是非空集合 A 上的一个等价关系,以 R 的所有等价类作为元素的集合称为 A 关于 R 的商集,记作 A/R.即A/R=xR | xA.例如:以例 1 中的集合 A 和关系 R,得到商集:A/R=1,4,7,2,5,8,3,6定义定义 7.187
5、.18:设 A 为非空集合,若 A 的子集族 ( P(A)满足下面的条件:(1) ;(2);),(yxyxyxyx(3)=A则称 是 A 的一个划分,称 中的元素为 A 的划分块.例 2:设 A=a,b,c,d,给出 1,2,3,4,5,6如下:1=a,b,c,d2=a,b,c,d3=a,a,b,c,d4=a,b,c5=,a,b,c,d6=a,a,b,c,d.则 1和 2是 A 的划分,其它都不是 A 的划分.*设 R 是非空集合 A 上的一个等价关系,则商集 A/R 是 A 的一个划分.*反之,任给 A 的一个划分 ,定义 A 上的关系 R 如下:R=|x,yAx 与 y 在 的同一划分块中
6、.不难证明 R 是一个等价关系,且该等价关系所确定的商集就是 .*A 上的等价关系与 A 的划分是一一对应的.2.7 偏序关系定义定义 7.19: 设 R 是非空集合 A 上的关系.如果 R 是自反的,反对称的和传递的,则称 R 为 A 上的偏序关系,记作. 如果, 则记为 xy,读作 x 小于或等于 y.例如: 集合 A 的幂集 P(A)上 是偏序关系.整数集上的也是偏序关系.*一般说来,全域关系 EA不是 A 上的偏序关系.定义定义 7.20: 设 R 为非空集合 A 上的偏序关系,定义(1)yxyxyxAyx,(2) x,yA, x 与 y 可比xyyx .*x.例如: , .*哈斯图定
7、义定义 7.23: 设为偏序集. x,yA, 如果 x (R 为整除关系) 和的哈斯图 . (见图 2.7.1)例 4: 已知偏序关系的哈斯图如图 2.7.2, 试求出集合A 和关系 R 的表达式.解:A=a,b,c,d,e,f,g,h. R=,IA .定义定义 7.24: 设为偏序集, B A, yB.(1)若成立,则称 y 为 B 的最小元;)(xyBxx(2)若成立,则称 y 为 B 的最大元;)(yxBxx(3)若成立,则称 y 为 B 的极小元;)(yxyxBxx(4)若成立,则称 y 为 B 的极大元.)(yxxyBxx例 5: 见上例.A 的极小元: a,b,c,g .A 的极大
8、元: a,f,h .A 没有最小元和最大元.B1=b,c,d,e,f有最大元 f,但没有最小元.B2=b,d,e,f有最大元 f 和最小元 b.定义定义 7.25: 设为偏序集, B A, yA .(1)若成立, 则称 y 为 B 的上界;)(yxBxx(2)若成立, 则称 y 为 B 的下界;)(xyBxx(3)令 C=y|y 为 B 的上界,则称 C 的最小元为 B 的最小上界或上确界;(4)令 D=y|y 为 B 的下界,则称 D 的最大元为 B 的最大下界或下确界.例如: 例 5 中,B1=b,c的上界为 d,e,f, 但没有最小上界.B2=b,d,e有最小上界 f.B3=b,c,d,
9、e,f有最小上界 f.B4=f,e,d有下界 b,c, 但没有最大下界.B5=h有下界 h 和 g, 其中 h 为 B5的最大下界.作业:1. 对于给定的 A 和 R,判断 R 是否为 A 的等价关系:(1)A 为实数集, x,yA, xRyxy=2. 不是(2)A=Z+,即正整数集, x,yA, xRyxy 是奇数. 不是(3)A=P(X), |X|2, x,yA, xRyx yy x . 是2. 设 A=a,b,c,d, A 上的等价关系R=,IA,画出 R 的关系图,并求出 A 中各元素的等价类.a = b b = a c = d d = c3. 设 R 是 A 上的自反的和传递的关系,如下定义 A 上的关系 T,使得 x,yA,TRR ,证明 T 是 A 上的等价关系.由定义可证4.画出下列偏序集的哈斯图,并找出 A 的极大元, 极小元,最大元和最小元.A=a,b,c,d,eR=,IA .5.设 A=1,2,12,为整除关系,B=x|xA2x4.在偏序集中,求 B 的上界,下界,最小上界和最大下界.
