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1、第十二章 数项级数1 级数的收敛性1.131(1);(2);(3);(4)12;(5)3.5246.11(1);(2)1;(3).2a 7.(1)收敛;(2)发散;(3)收敛;(4)发散.2 正项级数1.(1)收敛; (2)收敛;(3)发散; (4)收敛; (5)收敛;(6)发散; (7)发散; (8)收敛; (9)收敛. 2. (1)发散; (2)发散; (3)收敛; (4)收敛;(5)收敛; (6)发散;(7),收敛; ,发散.abab9.(1)收敛; (2)发散; (3)发散;(4),收敛;,收敛; ,发散;发1p 1,1,pq1,1,pq1p 散.3 一般项级数1.(1)绝对收敛;(2
2、)发散;(3)当时绝对收敛,当时条件收敛,当时发散;1p 01pp0(4)条件收敛;(5)发散;(6)条件收敛;(7)绝对收敛;(8)时绝对收敛,时发散.|xe|xe2.(1)收敛;(2)收敛;(3)收敛.总练习题 6.提示:用2 习题 14 结论.第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性 1.(1)一致收敛;(2)一致连续;(3)不一致连续;(4)(i)不一致连续;(ii)一致连续; (5)(i) 一致连续;(ii) 不一致连续. 3.(1)一致收敛;(2)一致连续;(3)时一致收敛,时不一致收敛;(4) 一致连续;1r 1r (5) 一致连续;(6)不 一致连续.2 一致收敛函数列与函数
3、项级数的性质1.(1), ,三定理条件皆满足;(2) ( )nfx( )1f x ( )nfx( )0g x ( )nfx,不一致收敛,定理 13.9 和 13.10 条件满足;(3) 与都不( )f xxnfnfnf一致收敛,三定理条件均不满足,但定理 13.9 结论仍成立.4. 3 1.nnx n5.2 1sin.nnx nn6. 1 2总练习题1.(1)时一致收敛;(2)时一致连续.1k 1k 第十四章 幂级数 1 幂级数1.;(5) (1)1,( 1,1);(2)2, 2,2;(3)4,( 4,4);(4),(,)RRR R 142,(,);(6),;(7)1,( 1,1);(8)1,
4、 1,1.333RRR 2.(1)(2) ;(3) 11ln,( 1,1);21xxx 2,( 1,1)(1)xxx 32,( 1,1).(1)xxx 2 函数的幂级数展开2.(1) (2)20,(,);!nnxxn 100,( 1,1);nnxx (3);10(21)!1 1, )!2 2nnnxxn (4) 212 112( 1),(,);(2 )!nn nnxxn (5) 001(),( 1,1);!n nnkxxk (6) 011 1(1 ( 1) 2 ),(, );32 2nnnnxx (7) 210( 1),(,);(21)!(21)nnnxxnn (8) 0( 1) (1),(,
5、);!n nnnxxn (9) 210( 1)(21)!, 1,1.(2 )! (21)n nnnxxnn 3.(1) (2) 238 15(1) 17(1)7(1) ;xxx0( 1) (1) .nnnx总练习题1.(1)(2)x21( 1),( 1,1;(1)nnnxxn n 21 212133( 1),(,4(21)!n nnnxxn );(3) 410( 1),(,).(2 )! 41nnnxxnn 3.(1) (2) (3) ;(4) 31,( 1,1);(1)xxx 2222,(2,2);(2)xxx 21,(0,2)(2)xx21arctanarctan,( 1,1).22xxx
6、x x 4.(1)1;(2) 1ln2.33 36.11(1);(2).26第十五章 傅里叶级数 1 傅里叶级数1.(1)(i) (ii) 11( 1)2sin;nnnxn 1sin2;nnx n(2)(i) (ii) 22 114( 1)cos;3nnnxn2 2 14cossin4();3nnxnx nn(3) 1 2 112()1sincos(21)()( 1).4(21)nnnbaabnxnxabnn 3. 11sin(21) .21nnxn7. (1) (2) 1sin,(0,2 );nnxxn2 12 2cos(1 2),(, );41nnxxn (3)(i) 2 2 14442c
7、ossin;3naaabbcnxnxnn (ii) 2 1( 1) 4( 1) 2(cossin);3nnnaabcnxnxnn (4) (5)2 0sh2sh( 1) cos;1nnnxn 12 12( 1)shsin.1nnnnxn 8. 2 1cos.nnx n2 以为周期的函数的展开式2l1.(1) (2) 12 124( 1)cos2;41nnnxn 111sin2;2nnx n (3) (4) 311cos2cos4 ;828xx04cos(21)( 1);21nnnx n2. 22 12312( 1) cos1)cos.333nnnn x n 3. 2 14cos(21).(21
8、)nnx n 4. 2 18sin.41nnnxn5. 22 081(21)cos.(21)2nnx n 6. 22 114cos.3nn x n 总练习题4.(1) (2) ,;nnnnab ,.nnnnab 第十六章 多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数6.(1) (2) (3) 9;16222;xy xy222(tan).xtxyxyy8.(1);(2)( , )(0,0);(3)0;(4)( , )| |1,|1;(5)( , )|yxx yxyx yxyx yx (8)全平面;220,0;(6)( , )|2(21) ,0,1,2;(7)( , )|;yx ynxynnx yy
9、x(9)整个三维空间;(10) .22222(10)( , , )|x y zrxyzR2 二元函数的极限 1.(1)0;(2)(3)2;(4)(5)(6)0;(7)1.;2.(1)重极限不存在, (2), 0000limlim( , )0,limlim( , )1; xyyxf x yf x y ( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y 两个累次极限均不存在;(3)重极限不存在, (4) 0000limlim( , )limlim( , )0; xyyxf x yf x y 重极限不存在(5), 0000limlim( , )limlim( , )0; xyyxf x yf
10、x y ( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y 00limlim xyf 另一累次极限不存在;(6)与(4)相同;(7)重极限与累次极限均不存在.( , )0,x y 3 二元函数的连续性1.(1)间断曲线为圆族(2)间断曲线为直线族22(21),0,1,2,;2xynn(3)不连续点集合(4)在上连续;(5)仅在直,0, 1, 2;xyn n ( , )|0,0;x yxy2R线上连续;(6) 在上连续;(7)在定义域上连续;(8)在定义域上连续.0y 2R总练习题 2.(1)存在;(2)不存在.第十七章 多元函数微分学 1 可微性1.(1)(2) (3) 22,;xyzx
11、y zxsin ,cos ;xyzyx zx 22 3/2,()xyxzzxy(4) (5) (6) 22 3/2;()y xy 2212,;xyyzzxyxy,;xyxy xyzyezxe22,xyzxy (7) (8)22;yxzxysin()sin()(1cos(),(1cos();xyxy xyzyxyxyezxxyxyeggxu (9)(10) 222111,;yzyzxuuxzxyyz11(),(),() ln();zzz xyzuyz xyuxz xyuxyxy11,ln ,ln ln .zzzzyzyzy xyzuy xuzyxx uy xxy2.( ,1)1.xfx3.不存在
12、.(0,0)0,(0,0)xyff8.(1)(0,0)(1,1)(1,0)(0,1)|0,|44;(2)|0,|.dzdzdxdydzdzdx 9.(1) cos()(sin()cos();dzyxy dxxyyxy dy(2)(1)yzyzdue dxxze()yzzdyxyeedz10.2,2(1)2(1)().24xyzxyz11.9270,39(1)9(1).xyzxyz12.( 3, 1,3);330;3(3)13(3).xyzxyx 13.(1)108.972; (2)0.5023.14.22576 cm2 复合函数微分法1.(1)(2) 22(1);1xxdzx e dxx e2
13、2222222222222(1),(1)xyxy xyxy xyxyxyxyxyzezexyx yxyxy(3)(4) 32432 ;dztttdt22232(2ln(32 ),32uvuuuzuvzvuvv (5)(6) 11( ln(32 );32uvvuv1212,;xyufyf ufxf11211,xyxuf ufyyz 222,.zyf ufz 5.(0,0)4(0);(0,0)0.xtFfF3 方向导数与梯度1.5.2.98.133.( 4,2, 4),6;(3, 5,0), 34.4.21(,),1.xa yb zc rr5.1 1 12(, ).a b c7.(1)(2)1(
14、, , );x y zr31( , , ).x y zr4 泰勒公式与极值问题1.(1)(2)2222128,16,128;xxxyyyzxyzxy zyx 2(cossinx xzeyxy(3) 22sin ),( coscossin ),(cossin );xx xyyy zexyyy zeyxy 220,x yxyzz(4)(5) 21;y()()();pq rx y z x y zuxpyq zr e 24322 111222442xzy fxy fx y fy232232234 2111222121112221,25222,442;xyyfzxy fx y fx yfyfyfzx y fx yfx fxf(6) 22222224,
