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1、22第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量1. 为什么引入随机变量? 概率论是从数量上来研究随机现象统计规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分 析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量 表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念2. 随机变量的引入 实例 1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色. 实例 2 抛掷骰子,观察出现的点数.二、随机变量的概念 定义 设随机试验 E 的样本空间是 S = e, X = X (e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数, 则我们 称 X = X (e)为随机变
2、量.2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机 变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随 机变量的取值也有一定的概率规律.(3)随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机 现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.下面我们举几个随机变量的例子: (1) n 次射击命中目标的次数
3、X (或随意抽验 n 件产品, 其中不合格品的件数), 它有 n + 1 个可能取值: 0, 1, 2, , n. (2) 灯泡寿命 X, 可以取0, +上的任意值. (3) 测量误差 X, 可以取(, +上的任意值.有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 例如, 从一批产品中任意取出 10 件, 若用 X 表示其中的废品数, 这时, 少于 2 件废品、恰有 1 件废 品两个事件, 就可以分别用X 4及 P2 X 0, 求常数 c 的值. !kckXPk1) 1(e下面介绍三种重要的离散型随机变量. 一、(0 1)分布(或两点分布)设随机变量 X 只可能取
4、 0 或 1 两个值, 它的分布律为, k = 0, 1, (0 0 是一个常数, n 是任意正整数, 设 npn = , 则对于任一固定的非负整数 k, 有.!)1 (limkeppCk kn nk nk nn 证: 由, 有npn25knk kn nk nk nnnknnnkppC 1) 1() 1(!1)1 (L.knknnnk nnk 11)11 ()21 ()11 (1 !L对于任意固定的 k, 当 n 时, 有, , .1)11 ()21 ()11 (1 nk nnL enn 111 kn故有 .!)1 (limkeppCk kn nk nk nn 可见, 当 n 很大, p 很小
5、时, 二项分布就可以用下列公式来近似计算:( = np)(5)!)1 (1 keppCk kkk n 这就是著名的二项分布的泊松逼近公式.例 8 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 求命中次数X 2 的概率.解: 显然, X b(400, 0.02), 则PX 2 = 1 PX = 0 PX = 1.9970. 091)98. 0()02. 0()98. 0()02. 0(1839911 40040000 400eCC这个概率接近于 1, 它说明, 一个事件尽管它在一次试验中发生的概率很小, 但只要试验次数很多, 而 且试验是独立进行的, 那么这一事件的发生几乎是
6、肯定的, 所以不能轻视小概率事件. 另外, 如果在 400 次射击中, 击中目标的次数竟不到 2 次, 根据实际推断原理, 我们将怀疑“每次命中率为 0.02”这一假设.例 9 为保证设备正常工作, 需要配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费, 配备少了要影响生产). 现有同类型设备 300 台, 各台工作与否是相互独立的, 发生故障的概率都是 0.01, 在通常情况下, 一台设 备的故障可由一人来处理(我们也只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设备发生故障但 不能维修的概率小于 0.01?解: 设需要配备 N 人, 记同一时刻发生故障的设备台数为 X, 则 X b(300,
7、 0.01), 所要解决的问题是 确定 N, 使得 PX N 0 是常数, 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记为 X (). 易验证, PX = k满足条件(2).例 11 有一汽车站, 每天都有大量汽车通过. 设每辆汽车在一天中的某段时间内发生事故的概率为 0.0001, 而在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过, 试求发生事故的次数 X 0, 则由X = a a x 0)上的概率为.xxXxPdxxfdxxfxxx)()(乘积 f (x)dx 称为概率微分, 上式表明, 连续型随机变量 X 落在小区间(x, x + x)上的概率近似地等于概率微 分. f (x)dx 在连续型随机变量
8、理论中所起的作用与概率 PX = xk = pk在离散型随机变量理论中所起的作用是类似的. 如果把 x 看成质点的坐标, f (x)看成在 x 处的线密度, 则 Px1 0, 求 , 1,arcsin, 0)(axaxaaxBAaxxF(1) 常数 A、B;(2) 概率;(3) X 的概率密度 f (x).2aXP注: 若已知 X 的概率密度 f (x), 要求分布函数 F(x), 用积分方法, 当 f (x)是分段函数xdttfxF)()(时, 积分要分段讨论; 若已知 X 的分布函数 F(x), 要求概率密度 f (x), 则用微分方法, 当 F(x)()(xfxF是分段函数时, 在分段点
9、处用导数定义求导, 当不存在(个别点), 则可任意规定的值(个别点的)(xF)(xF值不影响积分结果).下面介绍几个重要的连续型随机变量. 一、均匀分布如果随机变量 X 的取值范围是有限区间(a, b), 并且落在a, b中的任一小区间的概率只与这个区间的 长度成正比, 而与该小区间的位置无关, 则称 X 在(a, b)上服从均匀分布, 它的概率密度为分布函数为 ., 0,1 )( 其它bxaabxf ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF记为 X U (a, b).29例 5 设随机变量 X U (0, 10), 求方程有实根的概率.012 Xxx解: =, X 2 或 X 2, 所以
10、 PX 2 + PX 2 = 0.8.042X二、指数分布如果连续型随机变量 X 的概率密度为 ., 0, 0,1 )( 其它xexfx 其中 0 是常数, 则称 X 服从参数为 指数分布, 其分布函数为 ., 0, 0,1)( 其它xexFx 指数分布有重要应用, 常用它来作为各种“寿命”分布的近似. 例如无线电元件的寿命、动物的寿 命、电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布.服从指数分布的随机变量 X 具有以下有趣的性质: 对于任意的 s、t 0, 有 PX s + t X s = PX t. 事实上PX s + t X s =. )()( sXPtsXP s
11、XPsXtsXP I)(1)(1tXPeee sFtsFtsts此性质称为无记忆性. 如果 X 是某一元件的寿命, 那么上式表明: 已知元件已使用了 s 小时, 它总共 能使用至少 s + t 小时的条件概率, 与从开始使用时算起它至少能使用 t 小时的概率相等. 这就是说, 元件 对它已使用过 s 小时没有记忆. 具有这一性质是指数分布有广泛应用的原因. 三、正态分布设连续型随机变量 X 的概率密度为， ( 0)为常数, 则称 X 服从参数为、 的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为 X N (、). 2其分布函数为 ( 0, 有 P h 时, f (x)单调减 21)(f少, 即当 x
12、 向左右远离 时, 曲线逐渐降低, 整条曲线呈现“中间高, 两边低”的形状. 这表明对于同样长 度的区间, 当区间离 越远, X 落在这个区间上的概率越小. 3 在 x = 处曲线有拐点, 并以 x 轴为渐近线. 4 参数 确定了曲线的位置, 确定了曲线的形状. 越大, 曲线越平坦; 越小, 曲线越集中.30特别地, 当 = 0, = 1 时, 称 X 服从标准正态分布, 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示, 即, .2221)(x ex xt dtex2221)( 我们知道, 利用分布函数 F(x)可以计算事件“X x”的概率. 但当 X N (0, 1)时, 就无法用初等方法 计
13、算, 因此, 为计算方便, 人们编制了(x)的函数表, 从表中可查出服从 N (0, 1)的随机变量小于指定值 x(x 0)的概率 PX x = (x).因=(x)是偶函数), xxtdtdttx)()()()()(1)(1)(xdttdttxx所以, 当 x a = 0.01. 57.50例 8 设, 求:),(2NX (1) P 0.99, 所以, , h = 184cm.99. 06170)( hhFhXP33. 26170h为了便于今后应用, 对于标准正态随机变量, 我们引入分位点的概念. 设 X N (0, 1), 对给定的数, 0 z = 1 ( z) = , 从而, ( z) =
14、 1 , 查表可得. 如, z0.05 = 1.645, z0.3 = 0.52. 一般地, 对随机变量 X, 若对给定的数, 0 0 (或恒有)(xg0 (或 0 (或 0, Y 的分布函数为yxyx yyXYdxxfyXyPyYPyF)()(由于, 且 PY = 0 = 0, 所以当 y 0 时, 其分布函数 FY (y) = 0, 于是 Y 的概率密度为02 XY. 0, 0, 0),()( 21 )()( yyyfyf yyFyfXX YY例如, 设 X N (0, 1), 其概率密度为( p2. 5. 设随机变量 X 的概率密度为(x), 且(x) = (x), F(x)是 X 的分布函数, 则对任何实数 a, 有(93 数 四) ( ) B(A) ;(B) ; (C) F(a) = F(a); (D) F(a) = 2F(a) 1.adxxaF 0)(1)(adxxaF 0)(21)(例 2 填空题 1. 设随机变量 X 服从参数为 2、p 的二项分布, 设随机变量 Y 服从参数为 3、p 的二项分布. 若, 则 PY 1 = . (97 数四) 9
