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1、第三章 多维随机变量及其分布上次课复习：概率论实践中总结出了重要的几类概率模型和与之相关的随机变量的概率分布：二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布等我们需要了解这些重要的概率分布及其产生的背景，从而指导决策教材章节题目：第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量及其分布（3.1 3.2 ） 教学要求：了解多维随机变量的概念了解二维随机变量的联合分布函数的概念和性质理解二维离散型随机变量的联合分布律的概念和性质，二维连续型随机变量的联合密度函数的概念和性质了解二维均匀分布、二维正态分布掌握由二维随机变量的联合分布求边缘分布重 点：联合分布律，联合密度函数，边缘分布难 点：由联合分布求边缘
2、分布教学手段及教具：板书，多媒体讲授内容及时间分配：二维随机变量及其分布函数 20 分钟二维离散型随机变量的分布律 25 分钟二维连续型随机变量的概率密度函数 45 分钟由联合分布确定边缘分布 45 分钟课后作业习题三 16参考资料概率论与数理统计 盛骤等编著 高等教育出版社概率论与数理统计 陈希孺编著 科学出版社A First Course in Probability Ross S M 著 Pearson Education, Inc.第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量及其分布 二维随机变量若对于试验的样本空间中的每个试验结果e，有序变量(, )X Y都有确定的一对实数值与
3、e 相对应，即( )XX e， ( )YY e，则称(, )X Y为二维随机变量二维随机变量或二维随机向二维随机向 量量6二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量(, )X Y仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(, )X Y为二维离二维离 散型随机变量散型随机变量二维离散型随机变量(, )X Y的分布可用下列联合概率函数来表示： (,),1,2,ijijP Xa Ybpi jL其中，0,1,2,1ijij ijpi jpL 7二维离散型随机变量的边缘概率函数设(, )X Y为二维离散型随机变量，ijp为其联合概率函数（,1,2,i j L） ，称概率 ()(1,2,)iP XaiL
4、为随机变量X的边缘概率函数，记为ipg并有 .(),1,2,iiij jpP Xap iL ，称概率()(1,2,)jP YbjL为随机变量 Y 的边缘概率函数，记为.jp，并有.jp=(),1,2,jij iP YbpjL . 8随机变量的相互独立性 设(, )X Y为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为 ,1,2,.ijijpp pi jggL对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相 应的结论二维离散型随机变量(, )X Y的条件概率函数设(, )X Y为二维离散型随机变量，ijp为其联合概率函数 ( ,1,2,)i j L，X在给定jY
5、b下的条件概率函数为(|),1,2,;ij ij jpP Xa YbipLY在给定iXa下的条件概率函数为(|),1,2,ij ji ipP YbXajpL10随机变量函数的分布设X是一个随机变量，( )g x是一个已知函数，()Yg X是随机变量X的函数，它 也是一个随机变量对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布设离散型随机变量X的概率函数为X 12naaaLLrP12npppLL则随机变量函数()Yg X的概率函数可由下表求得()Yg X12()()()ng ag ag aLLrP1p2pL np但要注意，若()ig a的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的
6、概率ip相加1二维离散型随机变量函数的分布如果二维离散型随机变量的联合概率函数为 (,),1,2,ijijP Xa Ybpi jL则随机变量函数(, )Zg X Y的概率函数为 ( ,),1,2,ijijP Zg a bpi jL但要注意，取相同( ,)ijg a b值对应的那些概率应合并相加特别有下面的结论：(j) 设( , ),( , )XB m p YB n p，且X与Y相互独立，则(, )XYB mn p；(ii) 设12(),()XPYP，且X与Y相互独立，则12()XYP三、思考题思考题某地有人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费元，若在这 一年内死亡，则由其家属从保险公司领
7、取元设该地人口死亡率为，求 保险公司获利不少于元的概率已知二维随机变量(, )X Y的联合概率函数为YX 1 9 1 18 1 6 1 9问, 取何值时，X与Y相互独立？3联合分布函数二维随机变量(, )X Y的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为( , )F x y，即 ( , )(,),F x yP Xx Yyxy 4联合分布函数的性质(1) 0( , )1F x y； (2) ( , )F x y是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数；(3) ( , )0,( , )0limlim xyF x yF x y ，
8、( , )0,( , )1limlim xxyyF x yF x y；(4) ( , )F x y是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；(5) 121222211211(,)(,)(,)( ,)( ,)P xXxyYyF xyF xyF x yF x y二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X，Y)的分布函数( , )F x y，如果存在一个二元非负函数( , )f x y，使得对于任意一对实数( , )x y有( , )( , )xyF x yf s t dtds 成立，则(, )X Y为二维连续型随机变量，( , )f x y为二维连续型随机变量的联合概率密 度二维连续
9、型随机变量及联合概率密度的性质(1) ( , )0,f x yx y ；(2) ( , )1f x y dxdy ；(3) 设(, )X Y为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L，有 (, )0PX YL； (4) 在( , )f x y的连续点处有 2( , )( , )F x yf x yx y ;(5) 设(, )X Y为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有 (, )( , )DP X YDf x y dxdy 1，二维连续型随机变量(, )X Y的边缘概率密度设( , )f x y为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为( )( , )Xfxf x y dy
10、； Y的边缘概率密度为( )( , )Yfyf x y dx1二维连续型随机变量(, )X Y的条件概率密度设( , )f x y为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X在给定Yy的条件下的条件概率密度为|( , )( | ),( )X Y Yf x yfx yxfy ，其中( )0Yfy ； Y在给定Xx的条件下的条件概率密度为|( , )( | ),( )Y X Xf x yfy xyfx ，其中( )0Xfx 1常用的二维连续型随机变量(1) 均匀分布如果(, )X Y在二维平面上某个区域 G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为 1,( , )x yf x yG ，（)G ;的面积 0
11、,其余.(2) 二维正态分布22 1212(,)N 如果(, )X Y的联合概率密度22 1121 2222112112()()()()11( , )exp22(1)21xxyxf x y 则称(, )X Y服从二维正态分布，并记为22 1212(, ) (,)X YN .如果22 1212(, ) (,)X YN ，则2 11(,)XN ，2 22(,)YN ，即二维正 态分布的边缘分布还是正态分布1随机变量的相互独立性 如果X与Y的联合分布函数等于,X Y的边缘分布函数之积，即 ( , )( )( ),XYF x yFx Fyx y 对一切，那么，称随机变量X与Y相互独立设(, )X Y为
12、二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为 ( , )( )( ),XYf x yfx fy在一切连续点上.如果22 1212(, ) (,)X YN 那么，X与Y相互独立的充分必要条件是 0多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随 机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论1随机变量函数的分布（）一维随机变量函数的概率密度设连续型随机变量X的概率密度为( )Xfx，则随机变量()Yg X的分布函数为 ( )()( ()()( )yYyX IFyP YyP g XyP XIfx dx其中，yXI与 ()g Xy是相等的随机事
13、件，而 |( )yIxg xy是实数轴上的某个集合随机变量Y的概率密度( )Yfy可由下式得到：( )( )YYfyFy连续型随机变量函数有下面两条性质：(i) 设连续型随机变量的概率密度为( )Xfx，()Yg X是单调函数，且具有一阶连续导数，( )xh y是( )yg x的反函数，则()Yg X的概率密度为 ( )( ( ) |( )|Yfyf h yh y(ii) 设2( ,)XN ，则当0k 时，有22(,)YkXbN kb k，特别当 1,kb 时，有(0,1)YkXbN，(0,1)XN （）二维随机变量函数的概率密度设二维连续型随机变量(, )X Y的联合概率密度为( , )f
14、x y,则随机变量函数 (, )Zg X Y的分布函数为 ( )()( (, )(, )( , )ZZZ DFzP ZzP g X YzP X YDf x y dxdy ,其中，(, )ZX YD是与 (, )g X Yz等价的随机事件，而 ( , ): ( , )ZDx yg x yz是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集) 随机变量函数(, )Zg X Y的概率密度为( )( )ZZfzFz.当X与Y相互独立，且X的概率密度为( )Xfx,Y的概率密度为( )Yfy时，随机变量 函数ZXY的概率密度为( )( )()ZXYfzfx fzx dx,或 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx 以上两个公式也称为卷积公式卷积公式当X与Y相互独立，且X的分布函数为( )XFx,Y的分布函数为( )YFy时，随机变量函数max(, )ZX Y的分布函数为 ( )( )( )ZXYF
