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1、中考总复习：方程与不等式综合复习中考总复习：方程与不等式综合复习知识讲解（基础）知识讲解（基础）【考纲要求考纲要求】 1会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况； 2掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次” 、 “化分式方程为整式方程” 、 “化无理 式为有理式” ； 3理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集； 4列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题； 5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点【知识网络知识网络】【考点梳理考点
2、梳理】 考点一、一元一次方程考点一、一元一次方程 1.1.方程方程 含有未知数的等式叫做方程. 2.2.方程的解方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.3.等式的性质等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式.4.4.一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项.）为未知数，（0ax0bax5.5.一元一次方程解法的一般步骤一元一
3、次方程解法的一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项系数化为 1(检验方程的解).6.6.列一元一次方程解应用题列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套” ，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的
4、依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.要点诠释：要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题： 距离=速度时间 ；时间距离速度 速度距离时间(2)工程问题： 工作量=工效工时 ；工时工作量工效 工效工作量工时 (3)比率问题： 部分=全体比率 ；全体部分比率 比率部分全体 (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题： 售价=定价折 ，利润=售价-成本， ；101%100成本成本售价利润率(6)周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C
5、正方形=4a，S正方形=a2，S环形=(R2-r2)，V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h.31考点二、一元二次方程考点二、一元二次方程 1.1.一元二次方程一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程. 2.2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是)0(02acbxax零，其中叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.2ax3.3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法（1）直接开平方法 利用平方根的定义直
6、接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是 b 的平方根，当时，bax2)(ax 0b，当 b0. 故 =b2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数 根. ( ii ) 证法一: 若 ac0, 由(2)知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc.=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1). 方程 kx=x+2 的根为正实数， 方程(k-1) x=2 的根为正实数. 由 x0, 20, 得 k-10. 4
7、ac(k-1)0. (a-kc)20, =(a-kc)2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 若 ac0, 抛物线 y=ax2-bx+kc 与 x 轴有交点, 1=(-b)2-4akc =b2-4akc0.(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).由证法一知 k-10, b2-4ac b2-4akc0. = b2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根.【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透.举一反三：举一反三：【变式变式】已知关于x的一元二次方程.0)2() 1(22mmxmx（1）若
8、x=2 是这个方程的一个根，求 m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）解：把 x=2 代入方程，得，0)2()2() 1(24mmm即.解得，. 022 mm01m22m当时，原方程为，则方程的另一个根为.0m022 xx0x当时，原方程为，则方程的另一个根为.2m0822 xx4x（2）证明：，)2(4) 1(22mmm482 m对于任意实数 m， .02m0482m对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根.类型二、解不等式（组）类型二、解不等式（组）3解不等式组 并将解集在数轴上表示出来3(1)54, 121, 23x
9、x xx 【思路点拨】 此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况， 看看属于哪种情况 【答案与解析】解不等式得：1 2x 解不等式得：x-1所以不等式组的解集为-1x1 2其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.举一反三：举一反三：【变式变式】解不等式组 并把解集在数轴上表示出来20 5121123x xx 【答案】解不等式，得2x 解不等式，得1x 所以，不等式组的解集是12x 不等式组的解集在数轴上表示如图：012345-5-4-3 -2 -154321012345类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用类型三、方程（
10、组）与不等式（组）的综合应用4如果关于 x 的方程的解也是不等式组的一个解，22124xm xx12,2 2(3)8xxxx 求 m 的取值范围 【思路点拨】 解方程求出 x 的值（是用含有 m 的式子表示的） ，再解不等式组求出 x 的取值范围，最后方程的 解与不等式组的解结合起来求 m 的取值范围. 【答案与解析】解方程，得 x-m-222124xm xx因为，24(4)xm m所以 m-4 且 m0 时，有240x 所以方程的解为 x-m-222124xm xx其中 m-4 且 m0解不等式组得 x-212,2 2(3)8,xxxx 由题意，得-m-2-2，解得 m0所以 m 的取值范围
11、是 m0【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一举一反三：举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习 高清 ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例 1】【变式变式】如果不等式组22 23xaxb 的解集是01x ，那么ab的值为 【答案】解不等式组得：，因为不等式组34-22bax 22 23xaxb 的解集是01x ，所以 解得所以4-20 312a b 2 1a b .1ab5 某采摘农场计划种植两种草莓共 6 亩，根据表格信息，解答下列问题：BA、(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 46000O 元，那么两种草莓各种多少亩? BA、(2)若要
12、求种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半，那么种植种草莓多少亩时，可使该ABA 农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】（1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数年亩产量采摘价格+B 地的亩数年亩产量采摘价格，列方程求解；（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数 y 随 x的变化求出最大利润【答案与解析】 设该农场种植种草莓亩，种草莓亩 AxB)6(x依题意，得：460000)6(200040120060xx解得： , 5 . 2x5 . 36 x(2)由，解得)6(21xx2x设农场每年草莓全部被采摘的收入为 y 元，则：4800008000
13、)6(200040120060xxxy当时，y 有最大值为 4640002x答：(l)A 种草莓种植 2.5 亩, B 种草莓种植 3.5 亩(2)若种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓 2 亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y 随 x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值举一反三：举一反三：【变式变式】某运输公司用 10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装 8 吨甲种苹果，或 10 吨乙种苹果，或
14、11 吨丙种苹果公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共 100 吨，且每种苹果不少于一车（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：苹果品种甲 乙丙每吨苹果所获利润（万元）0.2 20.210.2设此次运输的利润为 W（万元） ，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润 W项目 品种AB 年亩产（单位：千克）12002000 采摘价格（单位：元/千克）6040最大，并求出最大利润【答案】（1） ，81011(10)100xyxy y与x之间的函数关系式为 3
15、10yx y1，解得x3 x1，1，且x是正整数，10xy 自变量x的取值范围是x =1 或x =2 或x =3（2）80.22 100.21 11(10) 0.20.1421Wxyxyx 因为 W 随x的增大而减小，所以x取 1 时，可获得最大利润， 此时（万元） 20.86W 获得最大运输利润的方案为：用 1 辆车装甲种苹果，用 7 辆车装乙种苹果，2 辆车装丙种 苹果类型四、用不等式（组）解决决策性问题类型四、用不等式（组）解决决策性问题6为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的 3600 盆甲种花卉和 2900 盆乙种花卉 搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90 盆30
