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1、 数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）1.定义法定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2.公式法公式法：已知（即）求，用作差法：nS12( )naaaf nLna。11,(1) ,(2)nnnSnaSSn3.3.作商法：作商法：已知求，用作商法：。12( )na aaf ng g L gna(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n 4.4.累加法累加法： 若求：。1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaaL1a(2)n 5.5.累乘法：累乘法：已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaa
2、L(2)n 6.6.已知递推关系求已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。na1）递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12 先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足 qstpts2 2）形如）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11n n naakab 7.7.数学归纳法数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。 8.8.换元法换元法 换元的目的是简化形式，以便于求解。9、不动点法不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 1010 定系数法定系数法 适用于1( )nnaqaf n解题基本步骤：1、确
3、定 2、设等比数列，公比为？( )f n1( )naf n3、列出关系式4、比较系数求，)() 1(1211nfanfann125、解得数列的通项公式 6、解得数列的通项公式1( )naf n na习题1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2）(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.2.（20102010 安徽）安徽）(5)设数列na的前 n 项和2 nSn，则8a的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011(2011 年高考四川年高考四川) )数列 na的首项为3，
4、 nb 为等差数列且1(*)nnnbaa nN .若则32b ，1012b ，则8a ( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）114.(2011 年高考全国卷年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差，nS nan11a 2d ，则 A）8 （B）7 （C）6 （D）5224AnSSk 5.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nanL，且2 5252 (3)n naan，则当1n 时，2123221logloglognaaaL A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n6.（2009 陕西卷）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则
5、na 7.7. (2011(2011 广东卷广东卷) )等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若，则 na141,0kaaak8. 则其通项为1,131 11aaaann n9（2009 宁夏海南卷理）等差数列na前 n 项和为nS。已知1ma+1ma-2 ma=0，21mS=38,则m=_10.重庆卷理）设12a ，12 1n naa，2 1n n naba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= 1111等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列， nanS931,aaa求数列的通项公式.2 55aS na1212 已知数列的前项和满足求数列的通项 nannS1,) 1(2naSn
6、 nn na公式。13 已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na14 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53n nnanaa，na15 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na16 知数列满足，求数列的通项公式。na11228(1)8 (21) (23)9nnnaaann，na17 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na18 已知数列满足，求数列的通项公式。na1172223n n naaaa，na答案及详解答案及详解1.【答案】C C【解析解析】本题考查了数列的基础知识
7、。本题考查了数列的基础知识。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaaaaa L2.【答案】 A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知由叠加法128,28,nnnbnaan.21328781()()()642024603aaaaaaaa L4【答案】D【解析】22111(2 1)(1 1)kkkkSSaaakdakd 故选 D。12(21)akd2 1 (21) 244245kkk 5【解析】由2 5252 (3)n naan得n na222，0na，则n na2， 3212loglogaa
8、2 122) 12(31lognnan ，选 C. 6解析:由6312as可得 na的公差 d=2,首项1a=2,故易得na 2n.答案:2n7【答案】10【解析解析】由题得由题得1061031) 1(123442899 kd ddkdd8 8 解解：取倒数：11113131nnnnaaa a是等差数列， na13) 1(111naan3) 1(1n231 nan9 9 解析由1ma+1ma-2 ma=0 得到1212 212120,0,22138102m mmmmmmaaaaaSmam 又。答案 101010 解析 由条件得11 1 112222222111nnn nn nnnaaabbaa
9、 a 且14b 所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22nn nb1111 解解：设数列公差为 na)0(dd成等比数列，931,aaa912 3aaa 即)8()2(112 1daadadad12， 0dda 1 2 55aS 2 11)4(2455dada由得：，531a53dnnan53 53) 1(53点评点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比） 后再写出通项。 1212 解解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211n nnnnnaaSSa1 122 ( 1),n nnaa ,) 1(222 21 n nna
10、a，. 2212 aa11221 122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnn naa L.) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(2121 1211 nnn nnnnnnL经验证也满足上式，所以11a) 1(23212nn na1313 解：由得则12 31n nnaa 12 31n nnaa11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3 331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn LLL所以31.n nan14 解：因为，所以，
11、则，故112(1)53n nnanaa，0na 12(1)5nnnana132 1 122112211(1) (2)2 1(1) 122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nn n nnnnnnnn n naaaaaaaaaannn nn LLLL所以数列的通项公式为na(1) 123 25!.n n n nan 15 解：设1 152(5 )nn nnaxax 将代入式，得，等式两边消去123 5nnnaa 123 55225nnn nnaxax ，得，两边除以，得代入式得2na13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则1
12、 152(5 )nn nnaa 由及式得，则，则数列是以1 156510a 50n na 1 1525n n n na a 5 n na 为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故1 151a 152nn na125nn na16 解：由及，得1228(1) (21) (23)nnnaann18 9a 2122322243228(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1 (21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18 (2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)1 (21)kkak1nk1228(1) (21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1) (21)(21) (23)(21)1(23)8(1) (21) (23)(21) (23)(23)8(1) (21) (23)(21) (23)(21) (21) (23)(23)1 (23)2(1) 11 2(1) 1kk kkkkkk kkkkkk kkkkk kkk kk k
