特殊值法在解题中的应用

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1、“特特殊殊值值法法”的的应应用用2007 届届初初一一蔡蔡依依宁宁“特殊值法”顾名思义，用特殊的数代替字母的方法。在许多数学题目中，常常出现与字母有关的代数式、方程的讨论，如果对字母的取值进行讨论，或对字母的性质进行分析，将会比较复杂。“特殊值法”常常在选择题或是填空题中大展身手。现举实例数则： 例 1 一个圆柱的半径比原来圆柱的半径多 3 倍，高是原来的 ，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（ ） A、一样多 B、 倍 C、 倍 D、4 倍 分析：此题若不用特殊值法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个关系还要靠字母体现出来。若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利地解答。而许多同学往往不能想

2、到用特殊值法来解此题。 解：设原来圆柱半径为 1，高为 4，则后来圆柱半径为 4，高为 1。 因为，原来圆柱体积为 4，后来圆柱体积为 16。 所以，后来圆柱体积是原来圆柱体积的 4 倍，所以：应选 D 。 怎么样？用了特殊值法，一道看似复杂，无从下手的“难题”，就这样迎刃而解了，如果同学们还觉得不过瘾，下一道题等着你们。 例 2 当 m0 时，m 与 m 的大小关系为（ ） A、m m B、m m C、m= m D、无法确定 解：因为 m0，所以可设 m= -1，那么 A：-1 是不成立的， B：-1 是正确的,C：-1= 也是不成立的。所以答案应选 B 。 又一道题被“特殊值法”轻松破解，

3、如果这道题不用特殊值法，同学们将会陷入讨论的漩涡中。本题的基本思路是，先选好满足条件 m0 的特殊值，再将这个值代入到四个选项中一一检验。 例 3 已知有理数 a、b 满足 ab，则下列式子正确的是（ ） A-ab B. a-b C. -a-b D. -a-b 解：设 a=1，b=0，ab，那么 A：-10 成立；B：10 也成立；C：-10 也成立。只有 D 不成立，故排除 D。 若设 a=-1，b=-2，ab，那么 A：1-2 不成立；B：-12 不成立；C：12成立。所以，应选 C。 同学们，你又一次看到，特殊的值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便。例 4 若 x0，y0，且x

4、y 则 x+y 0。若 x0 ，y0，且xy， 则 x+y 0 。 此题若不用特殊值法，就要考虑绝对值的性质，会显得繁琐，现在用特殊值法，会使表达更加清晰、直观。效果怎样，请看下面解答。 解：因为 x0，y0，且xy，所以设 x=1，y=-2，则 1-2=-1，所以x+y0。 因为 x0，y0，且xy，所以可设 x=2，y=1，则 2+1=3 所以：x+y0 经过这 4 道题的解答,想必同学们已经被特殊值法所折服,并深深喜欢上了它。其实特殊值法不仅在选择题和填空题中有贡献,它也能为我们解应用题。 例 5 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只 20 元，茶杯每只 5 元，该商店有两种优惠方法： 买一只

5、茶壶赠送一只茶杯；按总价的 90%付款。若顾客购买 4 只茶壶和若干只茶杯（不小于 4 只），请你帮顾客预算一下，购买相同数量的茶杯，选用哪种优惠方法得到的优惠多？ 解：设买 x 只茶杯，两种方法付的款为： 204+（x-4）5 =（5x+60）元 （204+5x）0.9 =(72+4.5x)元 当 5x+60=72+4.5x 时，即 x=24 时,一样优惠； 为了知道买 24 只以下茶杯时，到底哪一种优惠？我们就用特殊值法。 当 x24 时，如 x=10 时, x=110，x=117，第一种优惠。那么当 x24 时就一定是第二种优惠了。 看来,特殊值法的用武之地还挺大的。其实特殊值法还可以在

6、更加广泛的领域中应用，这就需要大家做个有心人，经常留意，看看是否有使用特殊值法的可能。认识特殊值法、喜欢特殊值法、运用特殊值法，一定能让你获益匪浅。 点评： 对初一的学生来说，能写出这样的文章是相当不错的，说明她对特殊值法的理解已经很到位了，语文水平也很好。这位女生初三毕业后考进一个重点高中（鄞州区姜山中学），2010 年高中毕业。已经确认通过浙大面试，高考可以降 20 分录取。 我的学生进入高中后，和我谈起高中数学的学习情况，都说特殊值法在高中里也很有用，而许多同学却想不到，这些同学纷纷责问：这么好的方法我们的初中数学老师为何不教呢？ 但毕竟是初一的学生，蔡依宁所选的例题不尽人意。这里的例题

7、不用“特殊值法”也很容易解答，没有充分体现“特殊值法”的优越性。下面我来补充几个例题。 例 6 已知二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴交于点（2，0），（，0），且。与 y 轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论ab0；2ac0；4ac0；2ab10 中正确的是 。（写出序号） 分析：本题直接判断困难较大。如果我们设，与 y 轴交于（0，1），那么这个二次函数的解析式就可以用待定系数法解出来。于是就可以用具体的 a、b、c 的值进行判断。 例 7 若 a、b 满足，则的值为 。 分析：本题不用特殊值法也不是太难，但用了这个方法会更加简单。我们可以设a=1，b=1，代入即可。

8、例 7 已知关于 x 的一次函数 y=ax-a+1 和 y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是 。取 a=2，可得方程组， . 有些解答题使用特殊值法是不合适的。 例 8 请你说明不论 a 取何值，代数式 2(a-1)2-(a-5)(a-3)-(a+2)2的值总是-17。 错解：取 a=0，原式=2-15-4=-17，所以不论 a 取何值，代数式 2(a-1)2-(a-5)(a-3)-(a+2)2的值总是-17。 特殊值法使用不当也会造成错误。 例 9 已知非零实数 x、y 满足，则 = 。 错解：取 x=4，y=1，则原式=4。 其实还可以取 x=-1，y=-1，此时原式=1。所以正确答案是 4 或 1.