质数和合数的概念

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1、1质数与合数的基本概念质数与合数的基本概念知识点拨知识点拨1.质数与合数质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数） 。 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。 常用的 100 以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、6 7、71、73、79、83、89、97，共计 25 个； 除了 2 其余的质数都是奇数； 除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1、3、7 或 9考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数 2 的特

2、殊性为考点（2）除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1、3、7 或 92.判断一个数是否为质数的方法判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q（均为整数） ，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但 是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平 方数 K2，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的， 那么 p 就为质数。 例如：149 很接近 144=12x12，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数。

3、例题精讲例题精讲例例 1 1：下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌； 请你将 56 个字第 1 行左边第一字逐字编为 1-56 号，再将号码中的质数由小到 大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。例例 2 2：（2008 年南京市青少年“科学小博士”思维训练）炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖” ，只奖励 40 岁以下的数学家， 华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖。我们知道正整 数中有无穷多

4、个质数（素数） ，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定 理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数（素数）的数组。2例如，k=3 时，3、5、7 是间隔为 2 的 3 个质数；5、11、17 是间隔为 6 的 3 个 质数：而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数（由小到大排列， 只写一组 3 个质数即可）例例 3：（2003 年“祖冲之杯”邀请赛）大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人。现代人利 用计算机已经将 的值计算到了小数点后的 515 亿位以上

5、。这些数排列既无序 又无规律。但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是质数，但 314 不是质数，在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中恰 有一个是质数，是哪个？例例 4：（2004 年全国小学奥林匹克）自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质 数，这样的自然数有多少个？例例 5：两个质数之和为 39，求这两个质数的乘积是多少例例 6：如果 a，b 均为质数，且 3a+7b=41,则 a+b= 。例例 7：A,B,C 为 3 个小于 20 的质数，A+B+C=30,求这三个质数。例例

6、8：已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？例例 9：小晶迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数。同时，她感到这 个号码很容易记住，因为它的形式为 abba,其中 ab，而且 ab 和 ba 都是质数 （a 和 b 是两个数字） 。具有这种形式的数共有多少个？例例 10：（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑。3如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么， 这秕老人刚好平均分乘余下的大巴，那么有多少个老人？原有多少辆大巴？例例 11：（俄罗斯数学奥林

7、匹克）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同，如果个位数字等于前两个数字 的和，那么这个数是几？例例 12：（第五届“华杯赛”口试第 15 题）图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格 中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中。甲填“和数” 5812质数列 11138997乙填“积数” 61535问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？例例 13：（全国小学数学奥林匹克）从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数。排好后可 以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最 大的数是多少？例例 14：（保良局

8、亚洲区城市小学数学邀请赛）用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数。如果 L 中的数（1 不算）除 1 及它本 身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为“L质数” ，问：第 8 个“L质 数”是什么？例例 15：9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组。例例 16：（我爱数学少年数学夏令营）用 0，1，2，9 这 10 个数字组成 6 个质数，每个数字至多用 1 次，每个 质数都不大于 500，那么共在多少种不同的组成 6 个质数的方法，请将所有方 法列出来。例例 17：4从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12，这样的数有几

9、组？例例 18：用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到 并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数。例例 19：有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按 任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的 质数都写出来。例例 20：某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内，你能找出几个这样的质数？ 把它们写出来。例例 21：7 个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g。已知它们的和是偶数，那 么 d 是多少？例例 22：从 20 以内的质数中先出 6 个，然后

10、把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上， 并且使得相对两个面的数的和都相等，将这样的三个木块掷在地上，向上的三 个面的三个数之和可能有多少种不同的值？例例 23：将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A 最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）例例 24：4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记 录千克如下：8，9，10，11，12，13。已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量 之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？例例 25：将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是5多少？例例 26：将 50 拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数 是多少？例例 27：将 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出 的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？例例 28：如果一个数不能表示为三个不同合数的和，我们称这样的数为“状元数” ，最大 的“状元数”是几？