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1、 /221知识点串讲知识点串讲必修五必修五/222第一章：解三角形第一章：解三角形1 11 11 1 正弦定理正弦定理1 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nab ABsi nc C一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。2 2、已知、已知ABCABC 中，中，A A060，3a, ,求求si nsi nsi nabc ABC 证明出证明出si nsi nab ABsi nc Csi nsi nsi n
2、abc ABC 解：设解：设si nsi nab AB( o)si nck kC则有则有si nakA，si nbkB，si nckC从而从而si nsi nsi nabc ABC = =si nsi nsi n si nsi nsi nkA kBkC ABC = =k又又si na A032si n60k，所以，所以si nsi nsi nabc ABC =2=2评述：在评述：在ABCABC 中，等式中，等式si nsi nab ABsi nc C0si nsi nsi nabck kABC 恒成立。恒成立。 3 3、已知、已知ABCABC 中，中，si n : si n : si n1:
3、2: 3ABC，求，求:a b c （答案：（答案：1 1：2 2：3 3）1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理1 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC 从余弦定理，又可得到以下推论：从余弦定理，又可得到以下推论：222 cos2bcaAbc222 cos2acbBac/223222 cos2bacCba2 2、在、在ABCABC 中，已知中，已知2 3
4、a，62c，060B，求，求 b b 及及 A A解：解：2222cosbacacB= =22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62) coscos045= =212 ( 62)4 3( 3 1)= =82 2.b求求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：解法一：coscos222222(2 2)( 62 )(2 3)1, 222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二：解法二：sinsin02 3sinsin45 ,2 2aABb又又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac，即，即00A090 ,060 .A 评述
5、：解法二应注意确定评述：解法二应注意确定 A A 的取值范围。的取值范围。3 3、在、在ABCABC 中，若中，若222abcbc，求角，求角 A A（答案：（答案：A=120A=1200）1 11 13 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论1 1、在、在ABCABC 中，已知中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况，讨论三角形解的情况 分析：先由分析：先由si nsi nbABa可进一步求出可进一步求出 B B；则则0180()CAB 从而从而si naCcA1 1当当 A A 为钝角或直角时，必须为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。才能有且只有一解；否则无解。/
6、2242 2当当 A A 为锐角时，为锐角时， 如果如果ab，那么只有一解；，那么只有一解； 如果如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：，那么可以分下面三种情况来讨论： （1 1）若）若si nabA，则有两解；，则有两解； （2 2）若）若si nabA，则只有一解；，则只有一解； （3 3）若）若si nabA，则无解。，则无解。 （以上解答过程详见课本第（以上解答过程详见课本第 9 9:1010 页）页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A A 为锐角且为锐角且 si nbA ab时，有两解；
7、其它情况时则只有一解或无解。时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2 2、 （1 1）在）在ABCABC 中，已知中，已知80a，100b，045A ，试判断此三角形的解的情况。，试判断此三角形的解的情况。（2 2）在）在ABCABC 中，若中，若1a，1 2c，040C，则符合题意的，则符合题意的 b b 的值有的值有_个。个。（3 3）在）在ABCABC 中，中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x x 的取值的取值 范围。范围。（答案：（答案：（1 1）有两解；（）有两解；（2 2）0 0；（；（3 3）22 2x）3
8、 3、在、在ABCABC 中，已知中，已知7a，5b，3c，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。解：解：222753Q，即，即222abc，ABC 是钝角三角形。4 4、 （1 1）在）在ABCABC 中，已知中，已知si n : si n : si n1: 2: 3ABC，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。 （2 2）已知）已知ABCABC 满足条件满足条件coscosaA bB，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。 （答案：（答案：（1 1）ABC 是钝角三角形；（；（2 2）ABCABC 是等腰或直角三角形）是等腰或直角三角形）5 5、在、在ABCABC 中，中，060A，
9、1b，面积为，面积为3 2，求，求si nsi nsi nabc ABC 的值的值si nsi nab ABsi nc Csi nsi nsi nabc ABC 解：由解：由13si n22SbcA得得2c，则则2222cosabcbcA=3=3，即，即3a，从而从而si nsi nsi nabc ABC 2si na A/2251.21.2 解三角形应用举例解三角形应用举例1 1、两灯塔、两灯塔 A A、B B 与海洋观察站与海洋观察站 C C 的距离都等于的距离都等于 a a km,km,灯塔灯塔 A A 在观察站在观察站 C C 的北偏东的北偏东 3030，灯塔，灯塔 B B 在观察在观
10、察 站站 C C 南偏东南偏东 6060，则，则 A A、B B 之间的距离为多少？之间的距离为多少？解略：解略：2a a kmkm2 2、 某人在某人在 M M 汽车站的北偏西汽车站的北偏西 2020的方向上的的方向上的 A A 处，观察到点处，观察到点 C C 处有一辆汽车沿公路向处有一辆汽车沿公路向 M M 站行驶。公站行驶。公 路的走向是路的走向是 M M 站的北偏东站的北偏东 4040。开始时，汽车到。开始时，汽车到 A A 的距离为的距离为 3131 千米，汽车前进千米，汽车前进 2020 千米后，到千米后，到 A A 的距离缩短了的距离缩短了 1010 千米。问汽车还需行驶多远，
11、才能到达千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M M 汽车站？汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进解：由题设，画出示意图，设汽车前进 2020 千米后到达千米后到达 B B 处。在处。在ABCABC 中，中，AC=31AC=31，BC=20BC=20，AB=21AB=21， 由余弦定理得由余弦定理得cosC=cosC=BCACABBCAC 2222 = =3123, ,则则 sinsin2C C =1-=1- coscos2C C = =231432, , sinCsinC = =31312, ,所以所以 sinsinMACMAC = = sinsin（120120-C-C）= = sin
12、120sin120cosCcosC - - cos120cos120sinCsinC = =62335在在MACMAC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得MCMC = =AMCMACAC sinsin= =233162335=35=35从而有从而有 MB=MB= MC-BC=15MC-BC=15/226答：汽车还需要行驶答：汽车还需要行驶 1515 千米才能到达千米才能到达 M M 汽车站。汽车站。3 3、S=S=21absinabsinC C，S=S=21bcsinbcsinA,A, S=S=21acsinBacsinB4 4、在、在ABCABC 中，求证：中，求证：（1 1）;sinsins
13、in222222CBA cba（2 2）2a+ +2b+ +2c=2=2（bccosA+cacosB+abcosCbccosA+cacosB+abcosC）证明：（证明：（1 1）根据正弦定理，可设）根据正弦定理，可设Aa sin= = Bb sin= = Cc sin= = k k显然显然 k k0 0，所以，所以左边左边= =CkBkAk cba222222222sinsinsin= =CBA222sinsinsin= =右边右边（2 2）根据余弦定理的推论，）根据余弦定理的推论，右边右边=2(bc=2(bcbcacb 2222+cacabac 2222+ababcba 2222)=(b=
14、(b2+c+c2- - a a2)+(c)+(c2+a+a2-b-b2)+(a)+(a2+b+b2-c-c2) )=a=a2+b2+c2=左边左边变式练习变式练习 1：已知在：已知在ABCABC 中，中，B=30B=30,b=6,c=6,b=6,c=63, ,求求 a a 及及ABCABC 的面积的面积 S S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：答案：a=6,S=9a=6,S=93;a=12,S=18;a=12,S=1835 5、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，ADB=ADB=BCD=75BCD=75，ACB=ACB=BDC=45BDC=45，DC=DC=3，求：，求：（1 1）ABAB 的长的长（2 2）四边形四边形 ABCDABCD 的面积的面积/227略解（略解（1 1）因为）因为BCD=75BCD=75，ACB=45ACB=45，所以，所以ACD=30ACD=30，又因为，又因为BDC=45BDC=45，所以，所以DAC=180DAC=180- -（7575+ + 4545+ + 3030）=30=30， 所以所以 AD=DC=AD=DC=3在在BCDBCD 中，中，CBD=180CBD=180- -
