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1、 1.311.31 全等三角形全章复习与巩固（基础）全等三角形全章复习与巩固（基础）【学习目标学习目标】 1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平 分线的性质进行证明. 【知识网络知识网络】【要点梳理要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点一、全等三角形的判定与性质要点二、要点二、全等三角形的证明思路全等三角形的证明思路SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS 找夹角已知两边找
2、直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质要点三、角平分线的性质1.1.角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.2.角的平分线的判定定理角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.3.三角形的角平分线三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.4.与角平分线有关的辅助线与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法要点四
3、、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图 形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的 和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1 1 证明线段相等的方法：证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2 2 证明角相等的方法：证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3)
4、 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3 3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4 4 辅助线的添加辅助线的添加: : (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5.5. 证明三角形全等的思维方法证明三角形全等的思维方法: : （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏
5、捷、快速地发现两条线段和两个 角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或 先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定类型一、全等三角形的性质和判定1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在一般三角形直角三角形判定边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS
6、） 边边边（SSS）两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等同一条直线上，连结 DC(1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；(2)证明：DCBE .【思路点拨思路点拨】ABE 与ACD 中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.【答案与解析答案与解析】解：（1）ABEACD 证明：BACEAD90BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD又ABAC，AEA
7、D，ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA,又COEAODBEACOE CDAAOD90则有DCE180 9090，所以 DCBE.【总结升华总结升华】我们可以试着从变换的角度看待ABE 与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着 A 点逆时针旋转 90得到的，对应边的夹角等于旋转的角度 90，即 DCBE.举一反三：举一反三：【变式】如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.【答案答案】证明：AEAB，ADAC，EABDAC90EABDAEDACDAE ，即DABEAC.在DAB 与EAC 中，DABEAC ABAC BC DABEAC （ASA）BDCE.类
8、型二、巧引辅助线构造全等三角形类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)(1)作公共边可构造全等三角形：作公共边可构造全等三角形：2、 如图：在四边形 ABCD 中，ADCB，ABCD. 求证：BD.【思路点拨思路点拨】B 与D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线 AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析答案与解析】证明：连接 AC，ADCB，ABCD.12，34在ABC 与CDA 中1243ACCA ABCCDA（ASA）BD【总结升华总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线 BD.举一反三：举一反三：【变式】在 ABC 中，ABAC
9、. 求证：BC【答案答案】证明：过点 A 作 ADBC在 RtABD 与 RtACD 中ABAC ADAD RtABDRtACD（HL）BC.(2)(2)倍长中线法：倍长中线法：3、己知：在 ABC 中，AD 为中线.求证：AD1 2ABAC【答案与解析答案与解析】 证明：延长 AD 至 E，使 DEAD，AD 为中线，BDCD在ADC 与EDB 中DCDB ADCBDE ADED ADCEDB（SAS）ACBE在ABE 中，ABBEAE，即 ABAC2ADAD.1 2ABAC【总结升华总结升华】用倍长中线法可将线段 AC，2AD，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实
10、际上是绕着中点 D 旋转 180.举一反三：举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长的取值范围是( )xA.1 6 B.5 7 C.2 12 D.无法确定xxx【答案答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7575，所以选 A 选项.2x(3).(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在 ABC 中，ABAC. 求证：BC【答案与解析答案与解析】证明：作A 的平分线，交 BC 于 D，把ADC 沿着 AD 折叠，使 C 点与 E 点重合.在ADC 与ADE 中ACAE CADEAD ADAD AD
11、CADE（SAS）AEDCAED 是BED 的外角，AEDB，即BC.【总结升华总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.(4)(4)利用截长利用截长( (或补短或补短) )法构造全等三角形：法构造全等三角形：5、如图所示，已知ABC 中 ABAC，AD 是BAC 的平分线，M 是 AD 上任意一点，求证： MBMCABAC【思路点拨思路点拨】因为 ABAC，所以可在 AB 上截取线段 AEAC，这时 BEABAC，如果连接 EM，在BME 中， 显然有 MBMEBE这表明只要证明 MEMC，则结论成立【答案与解析答案与解析】 证明：ABAC，则在 AB 上截取 AEAC，连接
12、ME 在MBE 中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边） 在AMC 和AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM 所作，角平分线的定义，公共边， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的对应边相等） 又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC 【总结升华总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1） ，ABBD 于点 B，EDBD 于点 D，点 C 是 BD 上一点且 BCDE，CDAB（1）试判断 AC 与 CE 的位置关系，并说明理由； （2）如图（2） ，若把CDE 沿直线 BD 向
13、左平移，使CDE 的顶点 C 与 B 重合，此时第（1）问中 AC 与 BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化） 【答案与解析答案与解析】 证明：（1）ACCE理由如下：在ABC 和CDE 中，, 90 , ,BCDE BD ABCD ABCCDE（SAS） ACBE 又 EECD90， ACBECD90 ACCE（2） ABC 各顶点的位置没动，在CDE 平移过程中，一直还有，ABC D BCDE，ABCEDC90， 也一直有ABC(SAS)C DE ACBE而E90，EC D ACB90EC D 故有 AC，即 AC 与 BE 的位置关系仍成立C E【总结升华总结升华】变还是不变，就看
14、在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变举一反三：举一反三：【变式】如图(1)，ABC 中，BCAC，CDE 中，CECD，现把两个三角形的 C 点重合，且使BCAECD，连接 BE，AD求证：BEAD若将DEC 绕点 C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与 AD 还相等吗?为什么?【答案答案】证明：BCAECD，BCAECAECDECA，即BCEACD在ADC 与BEC 中ACD= BCEACBCCDCE ADCBEC(SAS)BEAD若将DEC 绕点 C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等，因为还是可以通过 SAS 证明ADCBEC.【巩固练习巩固练习】一一. .选择题选择题1. 如图所示，若ABEACF，且 AB5，AE2，则 EC 的长为（ ）A. .2 B. .3 C. .5
