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1、雅安中学高一年级 4 月月考数学试题出题人：陆竞怡 审题人：帅志圃一.选择题（每题 5 分）1.数列 1，4，9，16，25，的一个通项公式为( )A B C D2nan21) 1(nan n2) 1(nan n2) 1() 1(nan n2.在ABC 中，a=2，b=，B=，则 A=（ ）A或BC D或3 323.已知，且，则向量在向量上的投影等于（ ）A4 B4 C D4.已知向量=（3，1） ，=（2k1，k） ，且（），则 k 的值是（ ）A1 B或1 C1 或 D5.已知等差数列an的前 n 项和是 Sn,且 a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（ ）Aa5是常数 BS5
2、是常数 Ca10是常数DS10是常数6.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，且满足ABC, ,A B C, ,a b c, ,A B C，则的形状为（ ）coscos2 cosbCcBaAABCA. 等腰直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形7.设数列an满足 a1+2a2+4a3+2n-1an=n,则 an =（ ）A B C D.12nn28.若数列an满足 a1=2， ，则该数列的前 2018 项的乘积是（ ）A2B6C2D-39.在数列中，则（ ）na21a11ln(1)(2)1nnaannnaA B C Dnnln2nnln) 1(2nnln1nl
3、n210.10.数书九章数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作. .其中在卷五其中在卷五“三斜求积三斜求积”中提出中提出了已知三角形三边了已知三角形三边 ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为nn naaa111121nn21A AD DB BC C实实. .一为从隅，开平方得积一为从隅，开平方得积.”.”若把以上这段文字写出公
4、式，即若若把以上这段文字写出公式，即若 ，则，则， 现有周长为满足满足 2222 22 241bacacS7210ABC，则用以上给出的公式求得，则用以上给出的公式求得 的面积为（的面积为（ ）2:7:3sin:sin:sinCBAABCA. B. C. D. 3634545611.在中，,.若，ABCo60A3AB2ACDCBD2，且，则的值为( )(RABACAE4 AEADA. B. C. 3 D. 311311312.已知平面上有四点 A，B，C，D 满足，且满足DCDBDA，则ABC 的外接圆半径是( )2DCDADCDBDBDAA.4 B. C.2 D.3323二填空题（每题 5
5、分）13.如图,D，C,B 三点在地面同一直线上,从地面上 C,D 两点望山顶 A，测得它们的仰角分别为 45和 30,已知 CD200 米,点 C 位于 BD 上,则山高 AB 等于 米13 题图15 题图14.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=7，b=8，c=9，则 AC 边上的中线长为 15.如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点M、N，若，则 的值为 nm1116.已知数列满足：，若* 11,1, 1Nnaaaann n111 ,n nbna，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为 . 1b
6、nb三解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分）17.已知，是同一平面内的向量， （1）若|=1，|=2,与的夹角为 60，求|2|；（2）若=（1，1） ，=（2，x） ，与 4平行，求与的夹角 18.海中一小岛的周围内有暗礁，海轮由西向东航行至处测得小岛C8 38 nmileA位于北偏东，航行 8后，于处测得小岛在北偏东.（1）如果这艘海轮C75nmileBC60不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在处改B变航向为东偏南（）方向航行，求的最小值.019.在数列an中，已知 （）设，证明22, 2, 12121nnnaaaaa且nnnaab1数列是
7、等差数列；（）设，求数列的前 n 项和. nb11nnnbbcnS20.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 在边 CD 上，,2AB2BC（1）若点 O 是对角线 AC 的中点，设，求的值；),(RADAEAO（2）当时，求 DF 的长2BFAE21.在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB（I）求角 C 的大小；（）若 c=，求ABC 周长的取值范围22.已知数列的前 n 项和为,且(),数列 nb的通项公式nanS11a +12nnnaSn*Nn nb)21(（1）求数列的通项公式；（
8、2）令.若对任意的,不等式nannnT222*nN恒成立,试求实数 的取值范围.22(3 )nnnnnTb Snb雅安中学高一 4 月月考试数学题答案1-12 BDACD CBBDA BC13. 14.7 15.2 16.1003+1)2 ,(17.解：（1）根据题意，若|=1，|=2，与的夹角为 60，则=12cos60=1，则（2）2=24+42=14+44=13，则|2|=；（2）根据题意，若=（1，1） ，=（2，x） ，则=（3，1+x） ，4=（6，4x2） ，若与 4平行，则有 3（4x2）=6（1+x） ，解可得 x=2，则=（2，2） ，则有=2，与方向相同，则与的夹角 =0
9、18.解：（1）如图 1，过点作直线的垂线，交直线于点.CABABD由已知得， ， ，15A30CBD15ACB.8ABBCnmile在中， .Rt BCDsinCDABCBD1842nmilenmile又，海轮有触礁的危险.48 38（2）如图 2，延长至，使，故.CDE8 38CEnmile8 312DEnmile由（1）得.4 3tan30CDBDnmile.8 312tan234 3DEDBEBD，.tan7523 1tan152323 即， .tan15tan DBE15DBE故海轮应按东偏南 15的方向航行.19.解：（），即是以 2 为公差的等差数列. （）由题意知，. )121
10、 321(21 )32)(12(111nnnnbbcnnnnn nnnsn21)1211(21)121 321.51 31 31111(2120.20.(1)(1)点点 E E 是是 BCBC 边的中点边的中点,O,O 是对角线是对角线 ACAC 的中点的中点, , , ,; ;(2)(2), , , ,展开得展开得, , , , , , , ,21.21.解：（I）cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB，1sin2A=sin2B+1sin2C+sinAsinB，sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB，a2+b2c2=ab，=，又 0C，（2），a=2sinA，b=2
11、sinB，则ABC 的周长 L=a+b+c=2（sinA+sinB）+=2（sinA+）+=，即，ABC 周长的取值范围是22.22.解：（1），+12nnnaSQ+1=2n nnaSn*N当时，2n 1 1122nn nnnnanaaSS ，即( ). 1(1)nnnana11nnan an2n ()，132 1 1221123 211232 1nn n nnaaaannnaanaaaannn 2n 又,也满足上式，故数列的通项公式().11a nanann*N（说明：学生由，同样得分）.11111nnn naaaaannnn （2）又(1)123.2nn nns 不等式22(3)nnnnn
12、Tb Snb即2(1)3(2)2()222nnnnn nnn，即2(1)(12 )60nn（*nN）恒成立.方法一：设2( )(1)(12 )6f nnn（*nN） ，当1时，( )60f nn 恒成立，则1满足条件； 当1时，由二次函数性质知不恒成立； 当1时，由于对称轴x ,则( )f n在1,)上单调递减，0)1 (221( )(1)340f nf 恒成立，则1满足条件， 综上所述，实数 的取值范围是1,). 方法二：也即226 2nn nn（*nN）恒成立， 令226( )2nnf nnn则22611( )1112422(6)1066nf nnnnnnnn , 由67n ，24(6)106nn单调递增且大于 0，( )f n单调递增，当n 时，( )1f n ，且( )1f n ，故1实数 的取值范围是1,)
