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1、和平区和平区 2017-2018 学年度第一学期高二年级数学(理)学年度第一学期高二年级数学(理)学科期末质量调查试卷学科期末质量调查试卷一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的中,只有一项是符合题目要求的.1. “ ”是“双曲线 的离心率为 ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线 的离心率为 ,。“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充要条件。选 C。2. 在空间直角坐标系中,已知
2、, ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得。选 B。3. 已知双曲线的一个焦点坐标为,且经点 ,则双曲线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的一个焦点坐标为,且经过点,双曲线的标准方程为,故选 A.4. 若双曲线 ( )的离心力为 ,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 ( )的,则离心率,解得,则双曲线的渐近线方程为,即为,故选 C.5. 已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点为;抛物线的
3、焦点是椭圆的一个焦点,故,故,故该椭圆的离心率为 ,故选 B.6. 已知向量 , ,分别是直线 、 的方向向量,若 ,则( )A. , B. , C. , D. ,【答案】D【解析】 , ,。选 D。7. 如果椭圆 的弦被点 平分,则这条弦所在的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设这条弦的两端点为斜率为 ,则,两式相减再变形得,又弦中点为,可得,所以这条弦所在的直线方程为,整理得,故选 C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用,属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“ 点差法” ,其解题步骤为:设点(即设出弦的两端点坐标) ;代入(即代入圆锥曲
4、线方程) ;作差(即两式相减,再用平方差公式分解因式) ;整理(即转化为斜率与中点坐标的关系式) ,然后求解.8. 已知椭圆 : ( ) ,点 , 为长轴的两个端点,若在椭圆上存在点 ,使 ,则离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,设,则 ,可得,故选 A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围,属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出
5、来,再利用其中的一些关系构造出关于的不等式,从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式,最后解出的范围.二、填空题(每题二、填空题(每题 6 分,满分分,满分 24 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上)9. 若双曲线 ( )的左焦点在抛物线 的准线上,则 _【答案】4【解析】双曲线的左焦点,双曲线的左焦点在抛物线的准线上,可得,解得,故答案为 .10. 已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ,与椭圆相交于 、 两点,则 的长为_【答案】【解析】椭圆的右焦点为,直线的方程为,代入椭圆方程,可得,解得或,即有交点为,则弦长为,故答案为.11. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为直线,过抛
6、物线上一点, 作 于 ,若直线 的倾斜角为 ,则 _【答案】【解析】由抛物线方程,可得焦点,准线的方程为直线的倾斜角为直线的方程为,联立,解得,于代入抛物线的方程可得,解得,故答案为 .12. 空间四边形 , , ,则 的值为_【答案】0【解析】,。答案:13. 设椭圆 与双曲线 有公共焦点 , , 是两条曲线的一个公共点,则 等于_【答案】【解析】由题意得。设 是两条曲线在第一象限内的交点,则,解得。在中,由余弦定理的推论得。答案: 点睛:椭圆(双曲线)上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆(双曲线)的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常运用圆锥曲线的定义,并结合利用正弦定理、余弦定理进
7、行,解题时要注意通过变形将和看做一个整体,以减少运算量14. 已知双曲线 ( , )的左、右焦点分别为、 ,过 的直线交双曲线右志于 , 两点,且 ,若 ,则双曲线的离心率为_【答案】【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:直接求出,从而求出; 构造的齐次式,求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中,根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系,求出离心率三、解答题三、解答题 (本大题共(本大题共 5 小题,共小题,共 52 分分.解答应写出文字说明、证
8、明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.) 15. 已知平面上的三点 、 、 .(1)求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程;(2)设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.【答案】 (1) (2).【解析】试题分析:(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程,然后代入半焦距,根据椭圆的定义求出,从而可得,进而可得椭圆的标准方程;(2)点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、.设所求双曲线的标准方程为( , )其半焦距 ,由双曲线定义得,得,从而可得,进而可得 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.试题解析:(1)由题意知,
9、焦点在 轴上,可设椭圆的标准方程为 ( )其半焦距 由椭圆定义得 故椭圆的标准方程为 .(2)点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 .设所求双曲线的标准方程为( , )其半焦距 ,由双曲线定义得 , ,故所求的双曲线的标准方程为 .16. 已知抛物线 : ( )的焦点为 ,点 在抛物线 上,且,直线 与抛物线 交于 , 两点, 为坐标原点.(1)求抛物线 的方程;(2)求 的面积.【答案】 (1) (2) .【解析】试题分析:(1)因为点 在抛物线 上,且 ,由抛物线的定义,可得,解可得,代入标准方程,即可得抛物线 的方程;(2)联立直线与抛物线的方程,消去 得,设,由一元二次方程根与系数
10、的关系可得,结合拋物线的几何性质,可得的长,由点到直线距离公式可得 到直线,进而由三角形面积公式计算可得答案.试题解析:(1) 在抛物线 上,且 ,由抛物线定义得, 所求抛物线 的方程为 .(2)由 消去 ,并整理得, ,设 , ,则 ,由(1)知 直线 过抛物线 的焦点 , 又点 到直线 的距离 , 的面积 .17. 如图,三棱柱 中,侧棱于底面垂直, , , , 分别是 , 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)求证: 平面 .【答案】 (1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:建立空间直角坐标系,利用向量的运算证明。 (1)由题意得为平面的一个法向量,根据可得,从而可得 平面。(2)证明与
11、平面的法向量平行即可。试题解析:(1)证明:依题意, , ,以 为原点,分别以 的方向为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 .则,,,由题意得平面,为平面的一个法向量。 ,又平面。 平面 .(2)证明:连接 ,由(1)得,设平面的一个法向量为 由,得,令 ,得, , 平面。 点睛:(1)利用空间向量证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线证明线面平行时,可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线不在平面内(2)利用空间向量证明直线和平面垂直时,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线即可。18. 已知椭圆 : ( )的离心率为
12、 , 为椭圆 上位于第一象限内的一点.(1)若点 的坐标为 ,求椭圆 的标准方程;(2)设 为椭圆 的左顶点, 为椭圆 上一点,且 ,求直线 的斜率.【答案】 (1)(2) 【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率为 得到,再根据点在椭圆上得到,由以上两式可得,从而可得椭圆的方程。 (2)由题意可得椭圆 的方程为,设直线 的方程为 ( ) ,,解方程组可得,同样可求得,根据可得,由解得后即可得到直线的斜率。试题解析:(1)椭圆 的离心率为 , , 点在椭圆 上, 由解得 , ,椭圆 的方程为。(2)由(1)可知 ,即 椭圆 的方程为,即,点, 设直线 的方程为 ( ) ,,由 解得,。 , ,于
13、是设直线的方程为( )由 消去 整理得,解得 或(舍去) 。 又, , ,即, ( )解得,。即直线的斜率为。 19. 如图,在四棱锥 中, 平面,四边形是直角梯形, , .(1)求二面角 的余弦值; (2)设 是棱 上一点, 是 的中点,若 与平面所成角的正弦值为 ,求线段 的长.【答案】 (1)(2) 【解析】试题分析:(1)建立空间坐标系:则,所以,设平面的法向量为,由,得且取,得,所以易知平面,所以是平面的一个法向量设与平面所成的角为 ,所以, 即试题解析:(1)以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,由,得且取,得,所以是平面的一个法向量 因为平面ABC,取平面ABC的一个法向量设二面角的大小为,所以,由图可知二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为 (2)由(1)知,则,设() ,则,所以易知平面,所以是平面的一个法向量设与平面所成的角为 ,所以, 即,得或(舍) 所以,所以线段的长为