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1、和平区和平区 2017-2018 学年度第一学期高二年级数学（理）学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1. “ ”是“双曲线 的离心率为 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线 的离心率为 ，。“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充要条件。选 C。2. 在空间直角坐标系中，已知
2、， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得。选 B。3. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且经点 ，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的一个焦点坐标为，且经过点，双曲线的标准方程为，故选 A.4. 若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 （ ）的，则离心率，解得，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选 C.5. 已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点为；抛物线的
3、焦点是椭圆的一个焦点，故，故，故该椭圆的离心率为 ，故选 B.6. 已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】 ， ，。选 D。7. 如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设这条弦的两端点为斜率为 ，则，两式相减再变形得，又弦中点为，可得，所以这条弦所在的直线方程为，整理得，故选 C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“ 点差法” ，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标） ；代入（即代入圆锥曲
4、线方程） ；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式） ；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式） ，然后求解.8. 已知椭圆 ： （ ） ，点 ， 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 ，使 ，则离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，设，则 ，可得，故选 A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出
5、来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题二、填空题（每题 6 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）9. 若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 _【答案】4【解析】双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，可得，解得，故答案为 .10. 已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 、 两点，则 的长为_【答案】【解析】椭圆的右焦点为，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有交点为，则弦长为，故答案为.11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线，过抛
6、物线上一点， 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 _【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点，准线的方程为直线的倾斜角为直线的方程为，联立，解得，于代入抛物线的方程可得，解得，故答案为 .12. 空间四边形 ， ， ，则 的值为_【答案】0【解析】，。答案：13. 设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于_【答案】【解析】由题意得。设 是两条曲线在第一象限内的交点，则，解得。在中，由余弦定理的推论得。答案： 点睛：椭圆（双曲线）上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆（双曲线）的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常运用圆锥曲线的定义，并结合利用正弦定理、余弦定理进
7、行，解题时要注意通过变形将和看做一个整体，以减少运算量14. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为、 ，过 的直线交双曲线右志于 ， 两点，且 ，若 ，则双曲线的离心率为_【答案】【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系，求出离心率三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 5 小题，共小题，共 52 分分.解答应写出文字说明、证
8、明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.） 15. 已知平面上的三点 、 、 .（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.【答案】 （1） （2）.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出，从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、.设所求双曲线的标准方程为（ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得，得，从而可得，进而可得 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，
9、焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ）其半焦距 由椭圆定义得 故椭圆的标准方程为 .（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 .设所求双曲线的标准方程为（ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得 ， ，故所求的双曲线的标准方程为 .16. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线 上，且，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.（1）求抛物线 的方程；（2）求 的面积.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：(1)因为点 在抛物线 上，且 ，由抛物线的定义，可得，解可得，代入标准方程，即可得抛物线 的方程；（2）联立直线与抛物线的方程，消去 得，设，由一元二次方程根与系数
10、的关系可得，结合拋物线的几何性质，可得的长，由点到直线距离公式可得 到直线，进而由三角形面积公式计算可得答案.试题解析：（1） 在抛物线 上，且 ，由抛物线定义得， 所求抛物线 的方程为 .（2）由 消去 ，并整理得， ，设 ， ，则 ，由（1）知 直线 过抛物线 的焦点 ， 又点 到直线 的距离 ， 的面积 .17. 如图，三棱柱 中，侧棱于底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，利用向量的运算证明。 （1）由题意得为平面的一个法向量，根据可得，从而可得 平面。（2）证明与
11、平面的法向量平行即可。试题解析：（1）证明：依题意， ， ，以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，,，由题意得平面，为平面的一个法向量。 ，又平面。 平面 .（2）证明：连接 ，由（1）得，设平面的一个法向量为 由，得，令 ，得， ， 平面。 点睛：（1）利用空间向量证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内（2）利用空间向量证明直线和平面垂直时，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线即可。18. 已知椭圆 ： （ ）的离心率为
12、 ， 为椭圆 上位于第一象限内的一点.（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；（2）设 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 上一点，且 ，求直线 的斜率.【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为 得到，再根据点在椭圆上得到，由以上两式可得，从而可得椭圆的方程。 （2）由题意可得椭圆 的方程为，设直线 的方程为 （ ） ，,解方程组可得，同样可求得，根据可得，由解得后即可得到直线的斜率。试题解析：（1）椭圆 的离心率为 ， ， 点在椭圆 上， 由解得 ， ，椭圆 的方程为。（2）由（1）可知 ，即 椭圆 的方程为，即，点， 设直线 的方程为 （ ） ，,由 解得，。 ， ，于
13、是设直线的方程为（ ）由 消去 整理得，解得 或（舍去） 。 又， ， ，即， （ ）解得，。即直线的斜率为。 19. 如图，在四棱锥 中， 平面，四边形是直角梯形， ， .（1）求二面角 的余弦值； （2）设 是棱 上一点， 是 的中点，若 与平面所成角的正弦值为 ，求线段 的长.【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，所以，设平面的法向量为，由，得且取，得，所以易知平面，所以是平面的一个法向量设与平面所成的角为 ，所以， 即试题解析：（1）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，由，得且取，得，所以是平面的一个法向量 因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量设二面角的大小为，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为 （2）由（1）知，则，设（） ，则，所以易知平面，所以是平面的一个法向量设与平面所成的角为 ，所以， 即，得或（舍） 所以，所以线段的长为
