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1、石景山区高三统一测试石景山区高三统一测试数数 学学（理）（理）本试卷共 6 页，150 分考试时长 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项一项 1若集合，且，则集合可能是（ ）0|xxAABBIBA B C D 2 , 11|xx1 , 0 , 1R2在极坐标系中，圆被直线2sin1截得的弦长为（ ）A B 32C D2 333执行
2、如右图的程序框图，若输出的，48S 则输入的值可以为 （ ）kA B 46C D8104已知， “函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ mR21xymlogmyx0 +（，）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5二项式的展开式中，常数项的值是（ ）6 21(2)xxA B C D24060192180是开始输出s结束否nk3nnk输入1,1ns2ssn6等差数列中，则该数列前项之和为（ ） na11,mkaakm()mkmkA B C D12mk2mk1 2mk 12mk7在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2） ，Oxyz（2，
3、2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A和 B和 C和 D和 8如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线有以下几个命题：215 e双曲线是黄金双曲线； 双曲线是黄金双曲线；115222 yx11522 2xy在双曲线中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0，b） ，若F1 B1 A2,则该双22221xy ab90曲线是黄金双曲线；在双曲线中，过焦点 F2作实轴的垂线交双曲线于 M、N 两点，O 为坐标原点，若22221xy abMON，则该双曲线是黄金双曲线120其中正确命题的序号为（ ）A和 B和 C和 D
4、和第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9，z为复数z的共轭复数，则1z zz _1zi ACDPOBxy 11Oz212210如图，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA、DC 的延长线交于点P，若PA 4，PC 5，则CBD _11设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一点 M，则点 M 落在圆1, 0, 20y xy xy 内的概率为_221xy12如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量6 6满足，则 , ,a b cvvv,( ,)cxaybx
5、 yRvvv=x y13若甲乙两人从门课程中各选修 门，则甲乙所选的63课程中恰有门相同的选法有 种（用数字作答） 214已知集合，若对于任意，都存在，使得( , )|( )Mx yyf x11(,)x yM22(,)xyM成立，则称集合 M 是“垂直对点集” 给出下列四个集合：12120x xy y； ；1( , )|Mx yyx2( , )|logMx yyx； ( , )|2xMx yye( , )|sin1Mx yyx其中是“垂直对点集”的序号是 arbr crACDEFB三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明
6、，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系中，设锐角锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点xOyx，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记11( ,)P x yOPO222(,)Q xy.12( )fyy()求函数的值域；( )f()设的角所对的边分别为，ABC, ,A B C, ,a b c若，且，求.( )2f C 2a 1c b16 （本小题满分 13 分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称 AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 3 月某时刻实时监测到的数据： 西部城市西部城市AQI 数值数
7、值东部城市东部城市AQI 数值数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI 平均值：平均值：135AQI 平均值：平均值：90() 求 x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东东、西西部城市 AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果） ；()环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 个城市组织专家进行调研，记3选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望17 （本小题满分 14 分）如图，多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF平面ABCD，正方形空气质量等级优良轻度污染中度污
8、染重度污染严重污染AQI 值范围0,50)50，100）100,150)150,200)200,300)300 及以上xyPQOADEF 的边长为 2，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADDC，AB2，CD4 ()求证：BC平面 BDE；()试在平面 CDE 上确定点 P，使点 P 到直线 DC、DE 的距离相等，且 AP 与平面 BEF所成的角等于 3018 （本小题满分 13 分）已知函数1( )ln,( )(0)af xxax g xax ()若，求函数的极值；1a ( )f x()设函数，求函数的单调区间；( )( )( )h xf xg x( )h x()若存在，使得成立，求的取值
9、范围01, xe00()()f xg xa19 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C:离心率，22221(0)xyabab2 2e 短轴长为2 2()求椭圆的标准方程；CNMQAOPxy() 如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论 20 （本小题满分 13 分）设数列满足： na；11a 所有项；*NanLL1211nnaaaa设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满,*mnAn|am mNmAmbmb
10、na足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列nam nb na1，3，5 的伴随数列为 1，1，2，2，3()若数列的伴随数列为 1，1，1，2，2，2，3，请写出数列； na na()设，求数列的伴随数列的前 30 项之和；13nna na nb()若数列的前项和（其中常数） ，求数列的伴随数列 nan2 nSncc na mb的前项和 mmT石景山区高三统一测试石景山区高三统一测试数数 学学（理）（理）参考答案参考答案一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分题号12345678答案A CCB ACDB二、填空题共二、填空题
11、共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分三、解三、解答题共答题共6 小题，小题，共共 80 分分15 （本小题共 13 分）（）由题意，得， 3 分12sin,sin()cos2yy所以， 5 分( )sincos2sin()4f因为，所以，故. 7 分(0,)23(,)444( )(1, 2f（）因为，( )2sin()24f CC，所以， 9 分(0,)2C4C在中，由余弦定理得，ABC2222coscababC即，解得. 13 分22122 22bb1b 16 （本小题共 13 分）（）x82 2 分D东部D西部 4 分（） “优”类城市有 2 个， “轻度污染”类
12、城市有 4 个题号91011121314答案1+ 26 811 2180根据题意的所有可能取值为： 5 分1, 2,3,， 11 分12 42 3 61(1)5C CPCQ21 42 3 63(2)5C CPC30 42 3 61(3)5C CPC的分布列为：所以 13 分1311232555E 17 （本小题共 14 分）（）证明：因为平面 ABEF平面 ABCD，EDAB所以 ED平面 ABCD 1 分又因为 BC平面 ABCD，所以 EDBC 2 分在直角梯形 ABCD 中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC 4 分又因为 EDBD=D，所以 BC平面 BDE 5 分I（）如图建立空间直角坐标系 Dxyz 6 分则 0,0,02,0,0 ,0,0,2 ,2,2,0 ,2,0,2DAEBF7 分2,0,0 ,2,2, 2EFEBuuu ruu u r设，则0, ,Py zyz令是平面 BEF 的一个法向量，,nx y z r则0
