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1、第六章 微振动6.1 一质量为的电子在保守力场作用下沿直线运动，力场的势能m。其中是正常数，是电子离开直线上固定点的位移。求稳定平22xacxVca,x衡位置，并求关于此位置的微振动周期。解： 22222222222)()( )(2)( xaxac xacxxac xV ，为平衡位置。022 xaax322224224422222)()3(2 )()(4)(2 xaxacx xaxacxxacx xV （因，）02)2(4332322 ac aca xVax0a0c不是稳定平衡位置。ax 02322 ac xVax是稳定平衡位置。ax 在附近电子作微振动的周期是axcmaaacm aVmT22
2、22)(23 6.2 求单摆的振动周期。解：单摆自由度。取摆锤的坐标为轨道参量，为势能零点。1fx00x)()(22xllmgxV这势能函数不具的形式，运动不是简谐的。作势能的线性谐振动近似：由2 21kx0)2( 212222 xlxmgx xlmgdxdV得，则0xlmgxldxdx xlmgdxVdkxx 02222 02211线性谐振势能2 21xlmgV OOPl图 6.2即在小振动近似下，振动角频率lg mlmg mk1周期glT226.3 两定点连线水平，距离，每点上系一弹性绳。自然长均为 ，弹性a2l 系数均为，两绳的另一端同系在质量为的质点上，平衡时，每绳与铅直方km 向夹角
3、均为。若使质点自平衡位置沿铅直方向向下发生一微小位移，求质x 点振动 v 的周期。 解一：平衡时，有， ， cos)(21llkmgsin1al ctgah )ctg1 ()ctg2()ctg(2 112122 122 2lxalxxalxaal运动微分方程为cos)(21llkmgxm&)ctg1 (ctg)ctg(22 1111lxalxalxallkmgxm&将代入，整理得sin1al xlala amgxm sinsintan3&其中，故0sinla0sin3la0sinsintan3 xlala agx&为一谐振方程，周期3sinsinctg2lala gaT解二：平衡时，有mgla
4、kcos)sin(2弹性绳的弹性系数 )sin(cos2sin lamgkhxaamOO1l1l2l 2l 图 6.3一维势 mgxaxalaxakmgxlaxakxV2222222)ctg(2)ctg( )ctg(212)(mg axaxalxakxV 22)ctg(ctg2)ctg(2)( 23222)ctg(12)(axalakxV)sin(sintansin12 ctg12)0(33232222laalamgalkaalakV )sin()sin(ctg2)0(23alaglaa VmT 6.4 一刚体有一圆形底部（球或圆柱） ，置于水平面上，如例 6.4 图所示。 求其在平衡位置附近
5、作微振动（设为平面运动）的周期（刚体表面粗糙） 。 解一：取点为势能零点，则势能P，)cos(lamgV0sinmglddV是平衡位置。00cos0 022 mglmgldVd 故是稳定平衡位置。0mglIT2是刚体对平衡时与平面的切点的转动惯量。IA 解二：由能量积分（常数）ElamgIp)cos()(212&微分得(1)0sin)(212&mgldtdIIp pablOPA图 6.4)cos1 (2 )(2 2 )(222222222amlImblaamlImbmlmaamlImbmlaImbIIcp&sin2amldtdIp代回（1）式，则第二项为 4 阶小量，略去。利用微振动条件， （
6、1）式sin 化为(2)0pImgl&但， （2）式即1cosIIp0Imgl&周期 。mglIT26.5 一标尺的两端在一光滑的固定铅直圆环内滑动。如标尺长为，圆环b2半径为，标尺质量为，求标尺在平衡位置附近微振动的等效单摆长。)(abaM解：标尺对过其中心而与尺垂直的轴的转动惯量，标尺对于过点、垂直圆环的轴的转动惯量2 031MbI O为。MbaMbI)(31222标尺与水平面成角，其运动微分方程为sincosMgaI&sin22abaMgaI&0)32(2222bagba&等效单摆长 。222232babal 也可以不用列出运动微分方程式，由直接求出 。22baMI MhIl lOab
7、bhg图 6.56.6 两个固定点在同一水平线上，距离为，两点各悬长 的绳，BA,a2BA,l 两绳下端系于质量为的均匀棒两端，求系统绕过棒心的垂线作微振动的周期。m解一：设棒扭转后，变到虚线所在的位置。取 为坐标原点，轴铅直向上。将线平移到OOXAB ，由几何关系知EF)cos2()( )(222222222abbalbalCECAbaACAEAGx由于，所以121cos2 222 22222222)(11)( )2()(balabbalababbalbalx令，则2222)(hAGbalhab habhx211222 ，habmgmgxV22abhmgV)()0()(VhmgabV 所以)
8、0(2VIT )31(2mbI mgabIh2agbh 32解二 mgxIxmL22 21 21&22 221habmgI&代入 ，得0 L0abhmgI&AbbaaOCllOBDEFxMGHCD图 6.603bhga&gabhT326.7 由三根无重杆固结在一点组成的刚性结构，缚上两个质点，如图 6.7 所示，质点质量均为。令刚性系统支持在一固定点 D，并以小振幅左右摆动。m 求振动角频率及稳定振动对 的限制。l),(DBCABDlBDLBCAB解: 由图可见， 系统质心到过G 点铅垂线的距D 离为系统对过 点、垂直于摆D 动平面的轴的转 动惯量为)cos2(222LllLmI系统的运动微分
9、 方程为sin)cos(2lLmgI&对于微振动，方程变为0)cos2)cos(2 22LllLlLg&， 02&cos2)cos(22LllLlLg 因为总大于零，所以要求。cos222LllLllcos6.8 试求解图 6.8 所示二度耦合谐振子的运动。 解: 取平衡时两振子位置为原点的一维笛卡儿坐标，为广义1x2x坐标。2 22 1)(21)(21xmxmT&ABCDABCLLlDmmGO图 6.7mmkkk1x2x图 6.8（1）2 22 122 121)(21 21kxxxkkxVVTL2 12 22 121)(21)(21kxxmxm&(1)2 22 1221)(21kxxxk由,
10、得01 Lx02 Lx0)2(211xxkxm&（2）0)2(122xxkxm&取如下形式特解：)sin(11tAx)sin(22tAx则)sin(2 11tAx &（3）)sin(2 22tAx &将（3）代入（2）中，消去，得)sin(t0)2(212kAAmk（4）0)2(22 1AmkkA方程（4）有非零解的充分必要条件是系数行列式为零，即02222 mkkkmk由此得0)2(222kmk0)2)(2(22kmkkmkmk32 1（5）mk2 2将代入（4）式得mk32 1，02111kAkAAAA2111将代入（4）式得mk2 2，02212kAkABAA2312当时2 12)sin
11、(111tAx)sin(112tAx当时2 22)sin(221tBx)sin(222tBx通解为)sin()sin(22111tBtAx（6）)sin()sin(22112tBtAx因为有两个二阶微分方程，这里有 4 个任意常数,，。AB12简正坐标，)sin(111tA)sin(222tB，121x122x， )(21211xx )(21212xx 简正模式：211:xxmmkkk 反对称模式212:xx 图 6.8（2）mmkkk 对称模式以上二度耦合谐振子运动的求解时严格的，未作任何近似，因而运动的解 对微振动和有限振动都是适用的。 6.9 求如图所示二重摆在铅垂平面内作微振动的运动微
12、分方程式。解: 自由度，取，2为广义坐标。O x11l1m2my22l图 6.92f1体系的动能)()(21)()(212 22 222 12 11yxmyxmT&势能)coscos(cos22112111llgmglmV变换方程为，111sinlx 111cosly 22112sinsinllx22112coscoslly1111cos&lx2221112coscos&llx1111sin& ly2221112sinsin&lly由于 ，故1112，111&lx 22112&llx，01111&ly02221112&lly2 221122 111)(21)(21&llmlmT )21 ()2
13、1 ()21 (2 22 122 1 11llgmglmV02 2222 112121)(21Vglmglmm2 221122 111)(21)(21&llmlmL（1）2 2222 112121)(21lmglmm由01 L,得02 L（2）1212221121)()(gmmlmlmm&（3）22211gll&6.10 在上题中，令，求出简正频率及简正模式。21mm 21ll 解: 当，时，运动微分方程（上题中（2） ， （3）mmm21lll21式）简化为022121gll&（1）0221gll&将试探解，代入（1）式得)sin(11ta)sin(22ta02212 22 1galala022 22 1galala即02122 12 aalg（2）022 12
