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1、1“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦 1122,x yxy、中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1求弦中点的轨迹方程例 1已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.2 212xy2例 2直线（是参数）与抛物线的相交弦是:50l axyaa2:1fyx，则弦的中点轨迹方程是 .ABAB2求曲线方程例 3已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的ABC232yx2,8AABC重心是
2、抛物线的焦点，求直线的方程.GBC例 4已知椭圆，有一条倾斜角为的直线交椭圆222210xyabab2ac4于两点，若的中点为，求椭圆方程.AB、AB1 1,2 4C3确定参数的范围例 6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数2:Cyx:3lym x的取值范围.m.24证明定值问题例 7已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是AB222210xyababxP的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.ABOABOP.5处理存在性问题例 8已知双曲线，过能否作直线 ，使 与双曲线交于，22112xy 1,1BllP两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在
3、，QBPQ说明理由.点差法练习点差法练习1、已知双曲线，过点能否作出直线，使与所给双曲线交于，2 212yx (1,1)Bmm1Q且点为线段的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。2QB12QQ2、已知直线和双曲线交于两点，是否存在实数，使 两点关1yax2231xy,A Ba,A B于直线对称？2yx3、已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与 轴相交22221(0)xyabab,A BABx于点，求证：0(,0)P x22220ababxaa34、已知椭圆，直线，如果椭圆上总存在两点关于直线 对称，求13422 yx: l4yxmCl的取值范围。m二二.直线与二次曲线（韦达定
4、理）直线与二次曲线（韦达定理）例 1、已知圆 与直线相交于两点，为坐标原点，若0622mxyx032yx,P QO求的值。OPOQm例 2、设直线 方程为，等轴双曲线的中心在原点，右焦l1ykx222:(0)C xyaa点坐标为( 2,0)（1）求双曲线方程；（2）设直线 与双曲线的右支交于不同的两点，记中点为，求的取值范围，lC,A BABMk并用表示点的坐标；kM（3）在第二小问的条件下，若设点，求直线在轴上截距的取值范围( 1,0)Q QMy例 3、已知椭圆且短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且 22221(0)xyabab2a （1）求椭圆方程 （2）直线 过点且与椭圆相交于两点，当面积取得最大l(0,2)P,A BAOB值时，求直线 方程。l例 4、直线与双曲线 C恒有两个不同的交点 A 和 B，且2: kxyl. 1322 yx（其中 O 为原点）. 求 k 的取值范围.2OBOA
