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1、引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月复数是世纪人们在解代数方程16 时引入的年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著重要的艺术一书中列1545H Cardang出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为 1040(10)xx和，积为51551525( 15)40 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有 意义的因而复数在历史上长期不能为人民所接受 “虚数”这一名词就恰好反映了这一 点直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数,D AlembertL Eulerg的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接
2、受并理解了复数复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西） ，. .ALCauchy（魏尔斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作进行的K WeierstrassgB Riemanng 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞 大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等） 及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重 要应用第一章1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与 商幂与根运算.重点：德摩弗公式.()DeMoiVre难点：德摩弗公式.(
3、)DeMoiVre课时：2 学时. 1 复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数zxiyzzyixy的实部和虚部，记为， ，称为虚单位zRexzImyz1i 两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相111zxiy222zxiy等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，12xx12yy0xixg，因此，全体实数是全体复数的一部分000ig实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记xiyxiy为或 ()xiyxiyxiyxiy设复数，则复数四则运算规定：111zxiy222zxiy121212()()zzxxi yy1212121221()()z
4、zx xy yi x yx yg112122112 22222 22222(0)zx xy yx yx yizzxyxy容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不 能比较大小的 复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯zxiy( , )x y一确定因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部( , )x yzxiy的点和全体复数间的一一对应关系 由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实xyx 轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平
5、面yzz引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今 后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集” 3复数的模与幅角由图 1.1 中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应zxiyzozu u v关系（复数对应零向量） 从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点Ozr，向量的长度称为复数的模，记为图 1.1zxiyozu u vz220rzxy显然，对于任意复数均有， zxiyxzyzzxy(1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212zzzz(1.2)（三角形两边之和第三边，图 1.2）图 1.21212zzzz(1
6、.3)（三角形两边之差第三边，图 1.3）图 1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表(1.2)(1.3)1z2z12zz12zz示的三个向量共线且同向向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为ozu u vy xt anz()Argument由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，ArgzzArgz并称满足条件 Argz(1.4)的一个值为的主角或的主幅角，则有Argzzarg2Argzzk(1.5)(0, 1, 2,)k K注意：当时，其模为零，幅角无意义0z 从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有z(cossin )
7、zri(1.6)同时我们引进著名的欧拉公式：()Eulercossiniei(1.7)则可化为 (1.6)izre(1.8)与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即(1.6)(1.8)z(1.8)可推得复数的乘除有12121122() 1 2121 2()111222iiii i iz zre rrr ezrerezrr (1.9)因此 ， 1 212z zzz1122zz zz2(0)z (1.10)1 2121 12 2()Argz zArgzArgzzArgArgzArgzz(1.11)公式与说明：两个复数，的乘积（或商） ，其模等于这两个复数模(1.10)(1.11)
8、1z2z的乘积（或商） ，其幅角等于这两个复数幅角的和（或差） 特别当时可得 21z 12() 1 2iz zre此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角21z 度另外，也可把公式中的换成（某个特定值） ，若为主值时，则(1.11)Argzargzargz公式两端允许相差的整数倍，即有21 2121 12 2()2()2Arg z zargzargzk zArgargzargzkz(1.12)公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有(1.9)12nzzzL()(cossin )ninninnzrer eri当时，就得到熟知的德摩弗公式：1r ()DeMoiVre
9、(cossin )cossinninin(1.13)例求及用与表示的式子1.1cos3sin3cossin解：3cos3sin3(cossin )iiQ （）=3223cos3 cossin3cos sinsinii323cos3cos3cos sin4cos3cos233sin33cossinsin3sin4sin4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为1.21z2z121() (01)zzt zzt 过及两点的直线（图 ）的参数方程为1z2z121() ()zzt zzt 例 平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为1.3zkzR平面上以为心，为半径的圆周的方程为z0zR0zzR例
10、平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.1.4zIm0z Re0z 作业:第 42 页 2,3,4 复平面上的点集2 教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理. 重点：区域的概念,约当定理. 难点：区域的概念. 课时：2 学时.1.几个基本概念定义 满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点1.10zzz的，记为0z邻域0Nz（）显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部0Nz（）0z定义 设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，1.2E0zE则称为的内点0zE定义 若的每个聚点都属于，则称为闭集1.3EEE 若的所有点均为内点，则称为开集
11、EE定义 若，均有1.40MzE zM则称为有界集，否则称为无界集EE2.区域与约当曲线()Jordan定义 若非空点集满足下列两个条件：1.5D为开集(1)D中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.(2)DDD定义 若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点1.60zD0zD0zDD组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的DD0r 0()rNzD0zD外点定义 区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域的几个例子1.7DCDDC例 平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：1.5z0zR0zzR例 平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）1.6z0z
12、R0zzR例与例所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域1.51.60zzR例 上半平面 1.7Im0z 下半平面 Im0z 它们都以实轴为边界，且均为无界区域Im0z 左半平面 Re0z 右半平面 Re0z 它们都以虚轴为边界，且均为无界区域Re0z 例 图 1.4 所示的带形区域表为.1.812Imyzyoy2y1图 1.4xy其边界为与，亦为无界区域1yy2yy例 图 所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域1.9rzRzrzR定义 设及是两个关于实数 在闭区间上的连续实数，则由方程1.8( )x t( )y tt , ( )( )( )zz tx tiy t()t (1.13)所确定
13、的点集称为平面上的一条连续曲线，称为的参数方程，及Cz(1.13)C( )z分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若( )zC1t2t1t2t时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线12tt12( )( )z tz t1( )z tC（约当曲线） ；的简单曲线称为简单闭曲线若在上时，及( )( )zzt ( )x t存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线( )y tC定义 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线1.9定义（约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分为、三个点1.1CzC( )I C( )E C集（图 1.5 ） ，它们具有如下性质： 图 1.5彼此不交(1
14、)与一个为有界区域（称为的内部） ，另一个为无界区域（称为的外部）(2)( )I C( )E CCC若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点(3)P( )I C( )E CPC对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿绕行一周时，的内部CC （或挖）始终在的左方，即“逆时针” （或“顺时针” ）方向，称为的正方向（或负方CC 向） 定义设为复平面上的区域，若内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称1.10DDD 为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域D例如，例所示的区域均为单连通区域，例所示的区域为多连通区域1.5 1.81.9 （请读者针对定义自己作图思考）1.10 作业: 第 42 页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9 复变函数3教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念. 重点：复变函数的概念. 难点：复变函数的几何表示. 课时：2 学时. 1 复变函数概念定义 设为一复数集，若存在一个对应法则，使得内每一复数均有唯一（或1.11EfEz两个以上）确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值（或多值）函数uE( )wf z，称为函数的定义域，值的全体组成的集合称为函数的()zEE( )wf zw( )wf z值域例如，及 均为单值函数，及wzwz1 1zwz(1)z nwzwArgz(0)z 均为多值函数 今
