《《数学分析》8收敛数列的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学分析》8收敛数列的性质（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学分析教案 收敛数列的性质收敛数列的性质教学目的教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求教学要求：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； （）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的 极限。 教学重点教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点教学难点：数列极限的计算。 教学方法教学方法：讲练结合。 教学程序教学程序： 引引 言言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要limnnaa 求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要
2、对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质性质性质（极限唯一性极限唯一性） 若数列收敛，则它只有一个极限。 na性质性质（有界性有界性）若数列收敛，则为有界数列。 na na注注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。( 1)n性质性质（保号性保号性） 若（或） ，则对任何（或） ，存在正数lim0nnaa 0a (0, )aa( ,0)aa，使得当时有（或） 。nNnaanaa性质性质（保不等式性保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则 na nb0N0nNnnab。limlimnnnnab 思考思考：如果把条件“”换成“
3、” ，那么能否把结论换成？nnabnnablimlimnnnnab 保不等式性的一个应用：例例 设，证明：若，则.0(1,2,3,)nanLlimnnaa limnnaa 思考思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？性质性质（迫敛性迫敛性） 设收敛数列、都以 a 为极限，数列满足：存在正数，当 na nb nc0N时有，则数列收敛，且.0nNnnnacb nclimnnca 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 下面是其应用一例：例例 求数列的极限。 nn性质性质（极限的四则运算法则极限的四则运算法则） 若、为收敛数列，则也都 na nb,nnnnn
4、nababab数学分析教案收敛，且有;lim()limlimnnnnnnnababab .lim()limlimnnnnnnnaba bab 若再做假设及，则数列也收敛，且有0nb lim0nnb nna b.lim limlimnnnnnnnaaa bbb 特别地，若，则，.nbclim()limnnnnacac limlimnnnncaca 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；例例 求，其中.1 110 1 110limmm mm kknkka nana na b nbnbnb L L,0,0mkmk ab例例 求，其中.lim1nnna a1a 例例 求.lim(1
5、) nnnn 例例 求.222111lim(1)(2 )nnnnL二二 数列的子列数列的子列 引言极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？ na难道没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数 na列进行研究。那么，如果“整体无序” ， “部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分” 来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的 “子列” 。 子列的定义定义定义 设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数 na knN123knnnnLL列12, knnnaaaLL称
6、为数列的一个子列，简记为. na kna注注 1 由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序。简单 na kna na na地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是 na na na数学分析教案从中顺次取出无穷多项组成的数列） 。 na注注 2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第 k 项，即中的第 knakn kna naknk kna kna knak 项就是中的第项，故总有. 特别地，若，则，即. naknknkknk knnaa knnaa注注 3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子 na na na列，称为的非平凡子列。 na如都是的非平凡子列。由上节例知：数列数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，与它的任一平凡子列同为收敛或发散， 221,kkaa na na且在收敛时有相同的极限且在收敛时有相同的极限。那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： na定理定理 数列收敛的任何非平凡子列都收敛。 na na由此定理可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是， na若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。这是判断数列发散 na na的一个很方便的方法。
