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1、1（一）函数及其性质（一）函数及其性质一、函数一、函数图图象的象的对对称性称性 1、一条曲、一条曲线线自身的自身的对对称性称性方法方法：由条件可得到曲线上相应的两个动点，分析这两个动点之间的对称性。例 1、若 f(1+x)= f(3-x)，则函数 y=f(x)关于 对称。解：设 f(1+x)=m，则 f(3-x)=m，说明点A(1+x，m)与 A(3-x，m)都在函数 y=f(x)的曲线上，显然点 A 与 A关于直线 x=2 对称，所以函数y=f(x)的曲线关于直线 x=2 成轴对称（因为点 A与 A为曲线上的动点）。例 2、若 f(1+x)+ f(3-x)=6，则函数 y=f(x)关于 对称
2、。2、两条曲、两条曲线线之之间间的的对对称性称性方法：先把其中一条曲线的方程“整形”为另一条曲线方程的“形式”，再利用置换思想寻找两条曲线上的对应点即可。例 3、曲线 C1：y= f(1+x)与曲线 C2：y= f(3-x)之间关于 对称。解：曲线 C1：y= f(1+x)即为：C1：y= f3-(2-x)（把 C1整形为了 C2的形式）这说明如果点A(x,y)在曲线 C1上，那么 A(2-x，y)必在 C2上，而点 A 与 A恒关于直线 x=1 对称，所以曲线C1与 C2关于直线 x=1 成轴对称（因为点 A 与A分别为曲线 C1与曲线 C2上的动点）。例 4、曲线 C1：y= f(1+x)
3、与曲线 C2：y=6-f(3-x)之间关于 对称。2练习练习： ： 1、若 f(3-x)= f(5+x)，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；2、曲线 C1：y= f(3-x)与曲线 C2：y= f(5+x)关于 对称；3、若 f(1-x)+ f(x-7)=0，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；4、若 f(2+x)+ f(4-x)+8=0，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；5、曲线 C1：y= f(2x-1)与曲线 C2：y= f(3-2x)关于 对称；6、曲线 C1：y= f(3+x)与曲线 C2：y=4- f(1-x)关于 对称；7、曲线 C1：y=与曲线 C2：之间关于
4、对称。x2logxy21log4二、函数的周期性二、函数的周期性 定义：对于函数 f(x)，若存在非零常数 T，使得对于定义与中的任意一个 x 值都 有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)是以 T 为周期的周期函数。例如 f(x)=2， f(x)=， f(x)=(x-2k)2，x2k-1，2k+1，kZ 01 )()(QCxQxR例 1、已知函数 f(x)满足下列条件，求其相应的周期：f(x+2)= - f(x)，则 T= 4 ；，则 T= 4 ；)(1)2(xfxf，则 T= 6 ；，则 T= 4 ； 11)3(xfxfxf 5435)2(xfxfxf，则 T= 12 ；，则 T= 1
5、2 。 xfxfxf11)3( 11)3(xfxfxf3例 2、若 f(x)为奇函数， f(x+c)为偶函数(c0)，求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 3、若函数 f(x)既关于点 M(a，b)对称，又关于直线 x=c 对称，其中 ac， 求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 4、若函数 f(x)既关于直线 x=a 对称，又关于直线 x=b 对称，其中 ab， 求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 5、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对于 xR 恒有 f(3-x)= f(x-1)，当 x(0，2)时，f(x)=x2-2x+1. 求 f(10)与 f(10.5)的值；当 x-
6、2，2时，求 f(x)的解析式； 当 xR 时，求 f(x)的解析式。【解】：，(2)()( )f xfxf x (4)( )4f xf xT，(10)(2)(0)0fff 1 4(10.5)(2.5)(0.5)fff ，当时，( 2)(2)0ff( 2,0)x (0,2)x 4这时22( )()2121f xfxxxxx 22(1)( )0(1)xf xx (0,2)(2,0,2) ( 2,0)xx x 22(21)( )0(21)xkf xxk (2 ,22)2(22,2 )xkkxkxkk()kZ练习练习 1、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对于 xR 恒有 f(x-3)= f
7、(5-x)，当 x(0，1)时，f(x)=2x，求 f()的值。0.5log96【解】：，(2)()( )f xfxf x (4)( )4f xf xT，6729620.52log96log 96( 7, 6) 则=0.5222(log96)( log 96)(log 96)(log 966)ffff 33 2 22(log)f2、已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：=+， （0）()f xa21)()(2xfxfa求证：f(x)是以 2为周期的周期函数(IMO105)。a【解】：21 2(2 )()()f xaf xafxa222111 222( )( )( )( )f xfxf xfx
8、222111 224( )( )( )( )( )( )f xfxf xfxf xfx ，221111 2422( )( )( )( )f xfxf xf x1 2( )f x Q53、已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，恒有 f(x)= f(2-x)，当 x时，0,1( )2xf x 求 f(2013)的值；当 xR 时，求 f(x)的解析式。【解】：(2)()( )2f xfxf xT(2013)(1)2ff当时， 1,0x 1 2( )()2( )xxf xfx 21 2 2( )( )2xkxkf x (21,2 ) (2 ,21)xkk xkk 三、函数的三、函数的单调单调性性 例
9、 1、已知定义在 R 上的函数满足：对于任意的都有( )f x, x yR ，且当时，( )( )()f xf yf xy0x ( )1f x 求的值；(0)f求证：在 R 上是增加的；( )f x若当时，恒有成立，求实数的取值范围。1,2x2(21)1fxaxa【解】：，又，(1)(0)(1 0)fff(1)1f(0)1f设任意的，有12xx212111()()()()f xf xfxxxf x2111211()()() () 1()f xxf xf xf xxf x显然，以下只需证明恒有即可21()1f xx( )0f x （方法一）：（方法一）：当时，0x ( )10f x 当时，有0x
10、 (0)10f 当时，有，又，0x ()10fx ( )()(0)1f xfxf( )0f x 故当时，恒有成立xR( )0f x 6（方法二）：（方法二）：，只需即可2 2( ) ( )0xf xf( )0f x 假设存在使得，则存在正数 m，使得0x0()0f x0()1f xm又，矛盾，故00()()( )0f xmf xf m( )0f x 或者，2 2121 1()()1()()()f xf xxf xf xf x 略例 2、已知定义在上的函数满足：对于都有(0,)( )f x,(0,)x y ，且当时，()( )( )f xyf xf y1x ( )0f x 求的值；(1)f求证：
11、在上是增加的；( )f x(0,)解不等式(23)0fx【解】：取得：1xy(1)(1)(1)(1)0ffff设，120xx2 21 1()()0xf xf xfx3 2(23)0(23)(1)02312fxfxfxx 【练习】1、若，则（ ）25log 3log 3xy25log 3log 3yx(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y0 (99 联赛题)2、已知实数、b 满足：，求的值。a326154aaa3261524bbbab【解】： 32326151410 6151410aaa bbb 1 2（ （7设322( )61514(2)(47)(2)(2)3f xxxx
12、xxxxx，设为奇函数，且单调递增3(2)3(2)xx3( )3g ttt由（1）， （2）知：33( )( )(2)3(2)(2)3(2)f af baabb (2)(2)224g agbabab3、已知定义在上的函数满足：对于都有(0,)( )f x,(0,)x y ，且当时，且()( )( )f xyf xf y1x ( )0f x (2)1f求与的值；(1)f(8)f求证：；1( )( )xff x 求证：在上是增加的；( )f x(0,)解不等式( )3(2)f xf x4、设 f(n)是定义在正整数集上取非负整数值的函数，f(2)=0，f(3)0，f(9999) =3333，且对所
13、有的 m、n 都有：的值为 0 或 1。()( )( )f mnf mf n 求：f(2003)的值（IMO231）。【解法一】：的值为 0 或 1()( )( )f mnf mf n0， 取 m=1 有()( )( )f mnf mf n(1)( )(1)( )f nf nff n为非减函数，( )f x(1)(2)0(1)0fff又， （）0(3)(2)(1)1(3)1ffff (3)0f这时：(2003)(3 6672)667 (3)(2)667ffff若，(2003)668f则：(9999)(4 2003662 32)4 (2003)662 (3)(2)fffff ，与，故4 6686623334(9999)3333f(2003)667f【解法二】：易知，(1)(2)0ff(3)1f或 1，则：或 2，(3)( )(3)0f mf mf(3)( )1f mf m8相加得：12(3)( )1(6)(3)1(3 )(3(1)1nf mf mtf mf mtf mnf mnt L L L L L L L L1(3 )( ),()nf mnf mnt tttL，123332(33 3332)(3)3332()ffttt L又，(9999)3333(33 3332)(3)3332fff 1233320tttL即1233320tttL当时有：39999mn(3 )( )f
