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1、用心 爱心 专心- 1 -两种特殊电场的场强的分布规律两种特殊电场的场强的分布规律高中物理所涉及的电场主要是匀强电场,但近还必须知道两种特殊的非匀强电场：即等量同种电荷和 等量异种电荷形成的电场，电场线分布如图 1 所示，对于这两种特殊的电场主要考查中垂线 和两点电荷连线上场强和电势的分布情况。下 面笔者对这两种电场的电场强度变化规律做如 下的总结和证明。 一、等量异种电荷的电场强度分布情况：一、等量异种电荷的电场强度分布情况： （1 1）在两点电荷连线上场强先减小后增大，关）在两点电荷连线上场强先减小后增大，关 于中点呈对称分布；中点的场强为最小但不为于中点呈对称分布；中点的场强为最小但不为
2、 零。零。 证明：证明：如图 2 所示，设 P 是 AB 连线上的任意一点，AB=l，AP=a，BP=b，则P 点的场强可表示为22222)()( abbakQ bkQ akQEp，由不等式abba222得：当a=b=2l时，场强EP的值最小，22min82 lkQ akQE，即在两点电荷连线的中点场强最小，是不为零的数值。（2 2）在中垂线上场强的方向垂直于中垂线，场强大小关于连线呈对称分布，向两边逐渐的减小。）在中垂线上场强的方向垂直于中垂线，场强大小关于连线呈对称分布，向两边逐渐的减小。 证明：在中垂线上如图 3 所示，EA、EB分别表示 AB 两点电荷在 M 处产生的场强，由于EA=E
3、B，根据平行四 边形定则可知场强E的方向垂直于中垂线。设 A、B 两点到 M 点的距离为 r，由点电荷场强公式得：EA=EB=22cos rkQ，E=2EAcos=23cos2 rkQ，的取值 090随角的增大E在逐渐的减小，但方向不变。【例例 1 1】：（09 上海，3）两带电量分别为q和q的点电荷放在x轴上，相距为L，图 4 中能正确反映两电荷连线上场强大小E与x关系的是（ ）【答案答案】A】A【解析解析】：由于等量异种点电荷连线上的场强先减小后增大，呈对称性分布，且中点的场强为最小但不为零，因此 A 正确。 【例例 2】2】：（09 海南，10）如图 5 所示，两等量异号的点电荷相距为2
4、a。M 与两点电荷共线，N 位于两点电荷连线的中垂线 上，两点电荷连线中点到 M 和 N 的距离都为L，且La。略去 /2na Ln 项的贡献，则两点电荷的合电场在 M 和 N 点的强度（ ） A大小之比为 2，方向相反 B大小之比为 1，方向相反 C大小均与a成正比，方向相反 D大小均与 L 的平方成反比，方向相互垂直用心 爱心 专心- 2 -【答案答案】：ACAC 【解析解析】：此题为电偶极子的模型。如右下图所示，合电场在 M 和 N 点的强度分别为EM2()Kq La2()Kq La34Kqa L，EN222Kq La 22aLa32Kqa L，EMEN2；答案 A 正确。场强方向如图所
5、示，N 点处强场方向由q 指向q，M 点的靠近正点电荷，所以 M 点场强方向由q 指向 q。答案 C 正确。 二、等量同种电荷的电场强度分布情况：二、等量同种电荷的电场强度分布情况： 1 1等量同种电荷形成电场的场强分布特点：等量同种电荷形成电场的场强分布特点： （1 1）等量同种电荷的场强是先减小后增大，连线中点的场强最小且为零，呈对称性分）等量同种电荷的场强是先减小后增大，连线中点的场强最小且为零，呈对称性分 布。布。 （2 2）两点电荷连线的中垂线上，场强关于中点对称，方向沿中垂线方向；大小是先变）两点电荷连线的中垂线上，场强关于中点对称，方向沿中垂线方向；大小是先变 大后变小大后变小。
6、 下面以等量正点电荷的电场为例证明结论（2）和在何处场强是最大。如图 6 所示，A、B 为两个正点电荷，P 为中垂线上的任一点，设 AB 两点电荷的距离为l，AP 的距离为 r，AP 与 AB 所成夹角为，则有cos2lr ，EA和 EB分别为两点电荷在 P 点的场强，则有2rKQEEBA，在 P 点的合场强为 E=2EAsin,化简：232222)sin(sin8sin)sin1 (8sincos8 lKQ lKQ lKQE，从上式可知E的变化情况与（sinsin3）成正比，利用数学知识设函数：y= sinsin3来求最值。令 t=sin,则y=t3+t，此函数有最大值，利用导数求其最大值，
7、对 y 求导有：132ty，方程0132 t，解得：,33t则当33sin,33即t时，函数 y 有最大值，计算可得=35.26，此处的场强最大，最大值29316 lkQEm。为此连线的中垂线上场强的变化情况是：从 O 点逐渐增大到最大，到无穷远处又逐渐减少为零。所以整个过程是先增大后减小。 【例例 3】3】：如图所示，M、N为两等量的同种电荷，在其连线的中垂线上的 P 点放置一个静止的负点电荷， 不计重力，下列说法正确的是（ ） A点电荷在从 P 点到 O 点的过程中，加速度越来越大，速度也越来越大。 B点电荷在从 P 点到 O 点的过程中，加速度越来越小，速度也越来越大。 C点电荷运动到 O 点时加速度为零，速度达到最大值。 D点电荷在过 O 点后，速度也越来越小，加速度越来越大，直到粒子速度为零。 【解析】：根据等量同种电荷连线的中垂线上场强的分布规律：从 O 点经 P 点到无 穷远处，场强的大小是先增大后减小，其间有一个最大点 P，但负点电荷的初始 位置 P 不知在 P的上方还是下方，故从 P 点到 O 点加速度的变化有两种可能，排 除答案 AB。但无论是哪种情况到 O 点时速度为最大。过 O 点后根据对称性加速度应先增大后减小，排除 D 答案。故故 C C 答案正确答案正确。 （本文已发表于物理教师2010 年第十二期）
