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1、勾勾股股定定理理的的多多种种证证明明方方法法证证法法 1（梅梅文文鼎鼎证证明明）作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上 , 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC =
2、 EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 a2+b2=c2 证证法法 2（项项明明达达证证明明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长 为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在 一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，
3、垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即 MBC = 90. QBM + MBA = QBA = ， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF.即 a2+b2=c2 证证法法 3（赵赵浩浩杰杰证证明明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长 为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形 . 分别以 CF，AE
4、 为边长做正方形 FCJI 和 AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J 在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90, ABG +CBJ= 90, ABC= 90, G,B,I,J 在同一直线上， 所以 a2+b2=c2 证证法法 4（欧欧几几里里得得证证明明）作三个边长分别为 a、b、c 的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点 在一条直线上，连结 BF、C
5、D. 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =. 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 即 a 的平方+b 的平方=c 的平方 证证法法 5(欧欧几几里里得得的的证证法法 )几何原本中的证明 设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对 边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分
6、别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换 成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设ABC 为一直角三角形，其直角为 CAB。 其边为 BC、AB、和 CA，依序绘成四方 形 CBDE、BAGF 和 ACIH。 画出过点 A 之 BD、CE 的平行线。此线
7、将分别与 BC 和 DE 直角 相交于 K、L。 分别连接 CF、AD，形成两个三角形 BCF、BDA。 CAB 和BAG 都是直 角，因此 C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证 B、A 和 H。 CBD 和FBA 皆为直角， 所以ABD 等于FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于 FBC。 因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于 ABD。 因为 C、A 和 G 有共同线性，所以正方形 BAGF 必须二倍面积于 FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB2。 同理可证，四边形 CKLE
8、 必须有相同的面积 ACIH = AC2。 把这两个结果相加， AB2+ AC2; = BDBK + KLKC 由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于 CBDE 是个正方形，因此 AB2 + AC2= BC2。 此证明是于欧几里得 几何原本一书第 1.47 节所提出的 证证法法 6 6（欧欧几几里里德德( (E Eu uc cl li id d) )射射影影定定理理证证法法） 如图 1，RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高，通过证明三角形相似则有 射影定理如下： 1）（BD）2;=ADDC， （2）（AB）2;=ADAC ， （3）（BC）2;=CDAC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）2;， 即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。 图 1
