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1、1 初中数学竞赛精品标准教程及练习（27）识图一、内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。 平面几何学只 研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、 面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线” 。 面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的， “线动成面” 。 4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学 好几何
2、的重要基础。识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量 的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差 别。 二、例题二、例题 例 1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三 角形？丁图中有几对等边三角形？解：甲图中有 10 个角：AOB, AOC,BOC,BOD,COD, COE,DOE,DOA,EOA,EOB.如果 OA 和 OC 成一直线，则少一个AOC，余类推。 乙图中有 5 个等腰三角形：ABC，ABD，BDC，BDE，DEC 丙图中有全等三角形 4 对：(设 AC 和 DB 相交于
3、O) AOBCOD，AODBOC，ABCCDA，BCDDAB。丁图中共有等边三角形 48 个： 边长 1 个单位：顶点在上的个数有 1234515 顶点在下的个数有 123410 边长 2 个单位：顶点在上的个数有 123410 顶点在下的个数有 123 边长 3 个单位：顶点在上的个数有 1236 边长 4 个单位：顶点在上的个数有 123ODCBAABCOABCDEDE2 边长 5 个单位：顶点在上的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例 2.设平面内有 6 个点 A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意 3 个点都不在同一直线上，如果每 两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图
4、形不出现有 4 个点的两两连线，那么 最多可连成几条线段？试画出图形。 解：从点 A1与其他 5 点连线有 5 条，从点 A2与其他 4 点（A1除外）连线有 4 条，从 A3与 其他 3 点连线有 3 条（A1，A2除外）以此类推，6 个点两两连线共有线段 1234515（条） ，或用每点都与其他 5 点连线共 56 再除以 2（因重复计算） 。要使图形不出现有 4 个点的两两连线，那么每点只能与其他 4 个点连线，共有（64） 212（条）如下图：其中有 3 对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6 A5 A4A6 A3 A1 A2 例 3.如图水平线与铅垂线相交于 O，某甲沿水平线，某乙
5、铅垂线同时匀速前进，当甲在 O 点时，乙离点 O 为 500 米，2 分钟后，甲、乙离点 O 相等；又过 8 分钟，甲、乙再次离点 O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进 2 分钟后位置，甲2，乙2乙2 为再前进 8 分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟 x,y米，根据题意得 500101025002yxyx甲 O 甲1 甲2 解得 12x=8y 乙1 xy=23 乙0 答甲和乙的速度比是 2 比 3。例 4.在三角形内（不在边上）有 3 个点，连同原三角形三个顶点，共 6 个点，以这 6 个 点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？解：如图ABC
6、 中一个点 D，与 A，B，C 各点连结可得 3 个不重迭的三角形；再增加 1 个点 E，这时可连结不重迭的三角形共 5 个，再增加 1 个点 F，又可增加 2 个不重迭的三角形， 共有 7 个。 一般规律是每增加 1 个点，可增加不重迭的三角形 2 个A A A F D E E B C D D B C B C 三、练习三、练习 27273 1.数一数：甲图中有直角三角形个，乙图中有等腰直角三角个，丙图中有全等 三角形对。A D D C AE D C E B A B 甲 乙 B 丙 C2.平面上有 5 个点 A，B，C，D，E，其中 A，B，C 三点在同一直线上，那么以这 5 个点为 端点的线
7、段共有条，记作 _ 3. 以 O 为端点画 6 条射线 OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的角（小于平角）最多是 个，最少是个，试分别画出草图。 4. 在三角形内有 n 个点（n 为整数）与原三角形 3 个顶点共 n3 个点，以这些点为顶点 可连成不重迭的三角形最多有个。 5. 下图中三角形个其中等腰三角形个，直角三角形个，全等的等腰三角形组，每组个， 全等的直角三角形组，每组个。 6.如图长方形 ABCD 中，E，F，G 分别在边 BC，CD，DA 上，以 A 为一个顶点，其他两点 在 B，C，D，E，F，G 中任选，总共可组成的 三角形的个数是7. 平面上有 6 个点 A，B，
8、C，D，E，F 其中任意 3 个点都不在同一直线上，如果不使图 形出现有 3 个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图. 8. 如图 OCAB 于 O，ODOE 于 O，写出图中 相等的角： 互余的角： 互补的角： 9.D G C 如图长方形 ABCD 中，AB5，BC4， AEBF1，CGDH2 H F 那么四边形 EFGH 的面积是（平方单位） A E B 10.如图 A，B，C，D 四点在同一直线上，到 A，B，C，D 各点距离之和为最小值的点在什么 位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？A B C D 11.正方形的边长为 a ，以四条边长为直径，
9、向形内作 4 个半圆，求这四个半圆相交所成 的菊花形面积。BCDAEFG4321ABCDEO4 12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ） （A） (B) (C) (D) 13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一 次相遇时，乙走了 100 米，第二次相遇时，甲还差 60 米走完一圈。求这个圆的周长。 提示：可设 圆周长为 x 米，并引入参数 V甲，V乙 列方程组解之 14.正方形 ABCD 边长为 a，在点 A 处有个质点 P， 在点 B 处有个质点 Q， 两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过 4
10、 秒钟，P 在 C 处追 上 Q。那么 B P A 再过 秒钟， P 在处第二次追上 Q P 出发 6 秒钟时，P，Q 这间相距a Q C D 15.有长 3cm，宽 2cm 的长方形纸片 1991 张，将它们按照下图所示的方法，摆在平面上， 那么这 1991 张纸片覆盖的面积是（ ） （A）3982 （B）3986 （C）3990 （D）399916.一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成部 分。 17.把一个矩形分成 6 个正方形（如图） ，其中最小的一个面积是 1（单位平方）那么这个 矩形的面积是（单位平方）11练习练习 2727 参考答案：参考答案： 1. 5，8，4 2. 10 3. 15, 12 4. 1+2n 5. 16,8,8 .4,2.2,4 6. 14 7. 9 9. 11 10. 有无数多个点，在线段 BC 上（包括端点） ，和是 ADBC5 11. （) 12a2 12. (A) 13. 48014. 16，C 0.5a 15.(B) 16. 11 17. 4
