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1、例说高考题中的利用导数求参数范围例说高考题中的利用导数求参数范围河北河北 高亚平高亚平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越 受到高考命题专家的“青睐” 。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的 热点。在 04 年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在 05 年的高考中，湖北、辽宁、湖 南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位 置上！ 现以 04 和 05 年的几道高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求 解策略。 一一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系与二次函数的性质、单调性、不等式等
2、相联系求解策略：求解策略：利用利用“要使要使成立，只需使函数的最小值成立，只需使函数的最小值恒成立即可；恒成立即可；axf)(axf min)(要使要使成立，只需使函数的最大值成立，只需使函数的最大值恒成立即可恒成立即可”.axf)(axf max)(这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例例 1（05 湖北理）已知向量=(,)，=(, )，若在区间(-1,1)a2x1xax1tbaxf)(上是增函数，求 的取值范围. t解析：解析：由向量的数量积定义，=()+() =+)(xf2xx11xt3x2xtxt=+ .)(xf 23xx2t若在区间(-1,1)上是增函数，则有0)(xf)(xf -
3、在 (-1,1)上恒成立.t23xx2若令=-=-3() -)(xg23xx231x2 31在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使 恒成立， max)(xg) 1(gt)(xg只需 即可，即 5.t) 1(gt即 的取值范围是5，）.t 点评：点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值 的取舍。例例 2 使不等式-对任意的实数都成立，求实数的取值范围.4x22xa2xa解析：解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于.)(xf4x22xx min)(xfa2又=-=4()，令=0，解得，=0
4、或=1. )(xf 34xx42x1x)(xf xx的符号及的单调性如下：)(xf )(xfx(-,0)0(0,1)1(1,+)(xf -0-0+)(xf 无 极 值极 小 值因为在 R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即= -1，)(xf min)(xf) 1 (f= -1，即3. min)(xfa2a点评：点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例例 3（05 天津理）若函数=(0,1)在区间(-,0)内单调递增，则)(xf)(log3axxaaa 21的取值范围是（ ）A,1) B.1) C(,+) D(1, ) a 41 43 49 49解析：解析：是复合函数，
5、须按 01 两种情况考虑.)(xfaa令=，在(-,0)上为增函数，)(xgaxx 3)(xf 21 若 03在(-,0)上恒成立, 3=,此时，1；a2x 21a2)21( 43 43a 若1，则在(-,0)上为增函数，须使=0 在(-,0)上恒成立，a)(xg 21)(xgax23 21即3在(-,0)上恒成立, 即0，不合题意.a2x 21a综上，.1).a 43点评：点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.例例 4（04 辽宁）已知函数.)0)(ln()(aaexfx（1）求函数的反函数的导数)(xfy )()(1xfxfy及);(xf （2）假设对任意
6、,不等式成立，求实)4ln(),3ln(aax0)(ln(| )(|1xfxfm数 m 的取值范围. 解析：解析：(1) 解略. =，=；得=；)(1xf)ln(aex)(xf axxee)(ln(xf )ln(aexx(2) 解此绝对值不等式得+0 , 0 , 故、均为增函数，)(x)(xg)(x)(xg在上，)4ln(),3ln(aa=，=， max)(x)4(ln( a)512ln(amin)(xg)3(ln( ag)38ln(a故原不等式成立，当且仅当，即.)4(ln( am)3(ln( ag)512ln(am)38ln(a点评：点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等
7、式问题函数化，问题就变得 简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃 而解。 二二 与极值点的个数有关与极值点的个数有关求解策略：求解策略：按方程按方程=0 的根的个数分情况谈论。的根的个数分情况谈论。)(xf 例例 5（04 湖北文）已知,函数= 的图象与函数=1b0c)(xfbx )(xg的图象相切，cbxx2()求与的关系式（用表示） ；bccb()设函数=在(-,+)内有极值点，求的取值范围. )(xF)()(xgxfc解析：解析：() 与的图象相切，切线的斜率相等，)(xf)(xg即=即，故，)(xf )(xg12 bx21bx切点的纵坐标为=，解
8、得，)21(bf)21(bgcb4) 1(2又,，即.1b0ccb21 cb21() =，)(xF)()(xgxfbcxcbbxx)(2223=，令=0，即)(xFcbbxx2243)(xF=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极cbbxx2243值点的情况)=)(121622cbb)3(42cb 若 =0，=0 有一个实根，则=，)(xF0x)(xF2)(30xx 的变化如下： )(xF故=不是的极值点； x0x)(xF若 0，=0 有两个不同的实根、，不妨设，则=)(xF1x2x1x2x)(xF，的变化如下：)(31xx )(2xx )(xFx（-，）1x1x（，）1x2
9、x2x（，+）2x)(xF+0-0+故、分别为函数的极大值点和极小值点.1xx 2xx )(xFx （-，）0x0x（，+0x）)(xF+0+综合，当 0，=0 在(-,+)内有极值点.)(xF由 =0，即，又由() ，)3(42cb2bc3cb21得，解得， 或.2)21(cc33470 c347 c故的取值范围是（0，）（，+）.c347 347 点评：点评：解决要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要 结合导数与极值之间的关系. 三三 与集合之间的关系相联系与集合之间的关系相联系例例 6（05 湖南文）设 0，点是函数与=的图象的t)0 ,(tPaxxxf3)()
10、(xgcbx 2一个公共点.两函数的图象在点处有相同的切线，P()用 表示，；tabc()若函数=在(-1,3)上单调递减，求 的取值范围.y)()(xgxft解析：解析：() 为切点，切线相同，此问与例 5 大同小异。P把点代入两函数解析式，有，又 0，故，P 0023cbtattt abcta2又在点处切线相同，故，即，P)()(xgxfbtat232将代入，得= ，从而，=，即.2tabtc3x 32tctbta() 由()，=，xtxxf23)()(xg32ttx =，y)()(xgxf3223txttxx=，y2223ttxx)(3(txtx函数=单调递减，即0，y)()(xgxfy由=0，当 0 时， ； 0 时， .y)(3(txtxt3txtttx3t故函数的单调区间，当 0 时，为；当 0 时，为.yt),3(ttt)3,(tt 故要使函数在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) 或(-1,3) ，即y),3(tt)3,(tt 或，解得， 3 或 -9.故 的范围是(-，-93，+）. 3130ttt 3310ttt ttt点评：点评：题看题意似与例 1 相似，其实不然。本题的表达式中含、和，不能把ytx2t2x全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，x 从而得出结果。04 年高考浙江文就已经考过了此类题.
